2021第2章第7节对数与对数函数2
第七节对数与对数函数 [考点要求]1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解 对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2, 10,;的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a\a>0,且aNl)与对数函 数y=log/(Q>0,且。夭1)互为反函数. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 [必备知识填充] 1. 对数的概念 如果(f=N(a>。且a尹1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=log〃N,其中a叫做对数的底数,N叫做真 数. 2. 对数的性质、换底公式与运算性质 (1) 对数的性质: ①次心=也;②\ogaab=b(a>0,且o尹1). (2) 换底公式: \ogab=r^~(a, c 均大于。且不等于 1, Z?>0). (3) 对数的运算性质: 如果 a>0,且 a^l, M>0, N>Q,那么: M ① log«(M- N)=logqM+logJV;② log。无=logJI/—log JV ;③ logJVT=nlogJll(n e R). 3. 对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y=logM(o>0且[乂 1)叫做对数函数 图象 a>l 0l 时,yVO 在(0, +8)上为增函数 在(0, +8)上为减函数 指数函数y=aXa>0且aNl)与对数函数v=logfl.r(«>0且互为反函数,它们的图象关于直线v=x对称. [常用结论] 1. 换底公式的两个重要结论 其中 ”>0 且 a乂 1, b>0 且 m, nGR, m^O. 2. 对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0b~>cB. a>c>b C. c>b>aD. c>a>b 3. 函数j=^log| (2x-l)的定义域是. 4. 函数y=loga(4—x)+l(o>0,且。公1)的图象恒过点 一卷箜宣考一耘一 课堂考点探究 考点1对数式的化简与求值 ■通法对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幕的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幕的形式,使幕的底数最简,然后利用对数运 算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、 商、幕的运算. 曜典题1.设2l =5b=m,且£+?=2,则〃z等于() A.V10B. 10 C.20D. 100 1-! 2. 计算:(lg 日一lg 25)+100「=. ~ 膏 (l-log63) 2+log62 • log618 3-计算:声=. 4. 已知log23=a, 3〃=7,则足英研何的值为. 考点2对数函数的图象及应用 鼠通法对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点 等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 嬲典例(1)(2019-浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=^7, y=log„(x+|)(«>0,且好1)的图象可能是() (2)当0时,4 Q,的图象如图,则下列结论成立的是() A.g>1, c> 1B.g>1, 0c B. b>a>c C.c>b>a 考向2解简单对数不等式 D. c>a>b 啪典例(1)若logfl|。且”21),则实数“的取值范围是 ⑵若log„(a2+l)