2021第2章第7节对数与对数函数2

第七节对数与对数函数 ［考点要求］1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解 对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2, 10,；的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数ya\a0,且aNl与对数函 数ylog/Q0,且。夭1互为反函数. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 ［必备知识填充］ 1. 对数的概念 如果fNa。且a尹1,那么x叫做以a为底N的对数，记作xlog〃N,其中a叫做对数的底数，N叫做真 数. 2. 对数的性质、换底公式与运算性质 1 对数的性质 ①次心也；②\ogaabba0,且o尹1. 2 换底公式 \ogabra, c 均大于。且不等于 1, Z0. 3 对数的运算性质 如果 a0,且 al, M0, NQ,那么 M ① logM- NlogqMlogJV；② log。无logJI/log JV ；③ logJVTnlogJlln e R. 3. 对数函数的定义、图象与性质 定义 函数ylogMo0且［乂 1叫做对数函数 图象 al 0al |y. xi o 扁,o）； / xl N（i,o）「 *log. 性质 定义域0, 8 值域R 当工1时，y0,即过定点1, 0 当 OVxVl 时，y0; 当 xl 时，y〉0 当 0 xl 时，y0； 当 xl 时，yVO 在0, 8上为增函数 在0, 8上为减函数 指数函数yaXa0且aNl与对数函数vlogfl.r0且互为反函数，它们的图象关于直线vx对称. ［常用结论］ 1. 换底公式的两个重要结论 其中 ”0 且 a乂 1, b0 且 m, nGR, mO. 2. 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线yl,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cdlab.由此我们可 得到以下规律在第一象限内从左到右底数逐渐增大. I学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打，错误的打“ X” ⑴函数ylog2.rl是对数函数. 2 log2.r2 21og2.r. ］X 3 函数yln工二与y ln 1x In 1X的定义域相同. 4 对数函数ylogfl.r0且*1的图象过定点1, 0,且过点a, 1,一1,函数图象不在第二、三象 限. 二、教材改编 1. log29-log34 B. C. 2 D. 4 2. 己知。2一示，Zlog2 clog*,贝U A. abcB. acb C. cbaD. cab 3. 函数jlog| 2x-l的定义域是. 4. 函数yloga4xlo0,且。公1的图象恒过点 一卷箜宣考一耘一 课堂考点探究 考点1对数式的化简与求值 ■通法对数运算的一般思路 （1）拆首先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后利用对数运 算性质化简合并. （2）合将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、 商、幕的运算. 曜典题1.设2l5bm,且2，则〃z等于（） A.V10B. 10 C.20D. 100 1- 2. 计算（lg 日一lg 25）100「. 膏 （l-log63） 2log62 log618 3-计算声. 4. 已知log23a, 3〃7,则足英研何的值为. 考点2对数函数的图象及应用 鼠通法对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点 等）排除不符合要求的选项. （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 嬲典例（1）（2019-浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y7, ylog„（x|）（0,且好1）的图象可能是（） （2）当0时，4logflx,则“的取值范围是（） A.（0,乎）B.（辛，1）C.（l,皿）D.（皿，2） ［母题探究］ 1. （变条件）若本例（2）变为若不等式X2logfl.r。对x（0, ）恒成立，求实数a的取值范围. （变条件）若本例（2）变为当0了亏时，VI-log„.r,求实数a的取值范围. IS典题1.（2019-合肥模拟）函数yIn （2-|x|）的大致图象为（） 2.已知函数log“（xc）（a, c为常数，其中aQ,的图象如图，则下列结论成立的是（） A.g1, c 1B.g1, 0c 1 C.OVqVI, c1D.OVqVI, 0c1 2. 设方程l（r|lg（一力|的两个根分别为尤1, X2,则（） A.Xi20B. X1X2 0 C.X\X2 1D. OX1X21 考点3对数函数的性质及应用 保通法 解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点 （1）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论. （2）底数与1的大小关系. （3）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 考向1比较大小 E典例12019-天津高考己知 log52, ilogo.50.2, c0.52,则 a, b, c 的大小关系为 A.qVcVZ B. C.bca D. 2己知。log2e, b\n 2, clog, 则a, b, c的大小关系为（） A.dbc B. bac C.cba 考向2解简单对数不等式 D. cab 啪典例（1）若logfl|l（o。且”21）,则实数“的取值范围是 ⑵若log„a2lloga2a0,则a的取值范围是 考向3和对数函数有关的复合函数 院通法解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 求出函数的定义域 8 」判断对数函数的底数与1的关系，分al与0冰1 二两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函 r数“同增异减”的原前河断函数的单调性 螺典例 已知函数fixlogfl3ax. 1 当xe[O, 2]时，函数关。恒有意义，求实数。的取值范围； 2 是否存在这样的实数s使得函数只尤在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1如果存在，试求出1的值; 如果不存在，请说明理