20212022高中数学人教版必修5作业112余弦定理系列三
1.1.2余弦定理 时间:45分钟 分值:100分 A学习达标 —、选择题 1. 在△A8C 中,q = 2, b = 5, c = 6,则 cos8 等于() A至B受 八,2424 57_7_ C*60D. ~20 a2 + c2- b2 15 详细分析:cosB=说一 = 24. 答案:A 2. 已知△ ABC满足B = 60。,AB = 3, AC =寸,则BC的长等于() A. 2B. 1 C. 1或2D.无解 详细分析:设BC = x,则(寸)2 = 9 +尹-6衣。$60。,解得x=l或2. 答案:C 3. 在△A3C中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a2 + c2 - b2 = y^ac,则角B的 值为() 、7171 A6B3 C*或普D旨畸 la2 + c2 -b2 -J3 Ji 详细分析:由a2 + c2 - Z?2 = y[3ac联想到余弦定理cosB = 遂=兰~, AB = 答案:A 4. 若三角形三边之比为3 : 5 : 7,那么这个三角形的最大内角是() A. 90°B. 60° C. 120°D. 150° 详细分析:设三边分别为3k,5k,7k,最大内角为7k所对的角a,由余弦定理得cosa = 3矽+ 5好一 7矽1 2x3kx5k = ~2 ,••最大内角 a = 120。,故选 C. 答案:C 5. △A3C中,已矢W2A = B + C,且bc = a2,则该三角形的形状是() A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 非等边的等腰三角形 D. 有一角为60。的直角三角形 77 详细分析: :A + B + C = tc,且 2A = B + C, = . b~ + C2 -a2 b1 + C1-be 1 又“:bc = cr, • •cosA=玉-=2bc =2 .•.(人-c)2 = 0, .“ = c, .•.此三角形为等边三角形. 答案:B 6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度决定 详细分析:设三边长分别为a, b, c,且屏+屏= c2. 设增加的长度为m, 贝 c + m>a + m, c + m>b + m, 又(a + m)2 + (b + tri)2 = a2 + b2 + 2(a + b)m + 2/m2>c2 + 2cm + m2 = (c + m)2, •L三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形. 答案:A 二、填空题 7. 在△ABC中,如果sinA : sinB : sinC=5 : 6 : 8,那么此三角形最大角的余弦值是 详仑田分析:a: b: c = sinA: sinB : sinC = 5 : 6 : 8,设 a = 5x, b = 6x, c=8x,贝 U 三角形 cP + b2 - c2 1 最大角C的余弦值是cosC =—说一=-赤. 答案:-会 77 8. 在△A3C中,3 = 3且AB=1, BC = 4,则边BC上的中线AZ)的长为. TT 详细分析:在△A3D 中,B=3, BD = 2, AB=1, jr 贝I] AD2 = AB2 + BD2- 2AB BDcos-j = 3. 所以 AD = y[3. 答案:吏 9. 在△ABC 中,A= 120°, AB = 5, BC=L 贝ij^ =. 详细分析:由余弦定理,得a2 = b2 + c2- 2bccosA, 则49 = ^ + 25+ 5Z;,解得力=3或5= -8(舍去), , sinB b 3 所以京=丁孑 3 答案:5 三、解答题 10. 设锐角AABC的内角A, B,。的对边分别为a, b, c, a = 28sinA. (1) 求角B的大小; (2) 若 0 = 3寸§,c = 5,求边 b. 解:⑴由a = 2bsinA,根据正弦定理,得sinA = 2sinBsinA,所以sinB = 又AABC为锐角三角形,则角B为锐角, TT 所以B = & (2)根据余弦定理,得 b2 = a2+ C2- 2accosB = 27 + 25 - 45 = 7, 所以b = W. 11. 在△ABC 中,已矢□(« + b + c)(a + b-c) = 3ab,且 2cosAsinB = sinC,确定△ ABC 的形 状. 解:解法1:利用边的关系来判断. >=sinC c 由正弦正理,侍诙=再 !八 sinC c 由 2cosAsin8 = sinC, 得 cosA ==赤. b2 + C2 - a2 又由余弦定理,得cosA= 双 , .C 人2 + C2 _ “2 :92b = ~2bc — 即 c2 = Z?2 + c2 - a2. a = b. 又•.•(“ + /? + c)(a + /?-(?) = 3ab, (q + Z?)2 - c2 = 3ab. 4Z?2 - c2 = 3b2. . • b = c. . • a = b = c. 「•△ABC为等边三角形. 解法2:利用角的关系来判断. VA + B + C= 180°, sinC = sin(A + B). 又2cosAsinB = sinC, 2cosAsinB = sinAcosB + cosAsinB. .•.sin(A-B) = 0, 又A与8均为ziABC的内角, :.A = B, 又由(o + Z? + c)(q + /? - c) = 3ab,得 (a + Z?)2 - c2 = 3ab, a2 + b2 - c2 + lab = 3ab, 即 a2 -^-b2 -c2 = ab, 由余弦定理,得cosC = ^. 又 0°