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双曲线及其标准方程 崇阳一中赵春 [教学目标] 知识目标:使学生掌握双曲线的定义,理解双曲线标准方程的推导,能根据条 件确定双曲线的标准方程. 能力目标:在与椭圆的类比中,掌握双曲线的标准方程,培养学生分析、归纳、 推理等能力. 情感目标:在平等的教学气氛中,通过学生之间、师生之间的交流,合作和评 价,实现共同探究、教学相长的教学情境,结合教学内容,培养学 生科学探索精神、审美观和理论联系实际的思想. [教学重点]双曲线的定义及其标准方程. (解决办法:通过演示实验得出双曲线,再设问给出双曲线的定义,通过比较 加深对双曲线定义与标准方程的认识.) [教学难点]双曲线标准方程的推导. (解决办法:引导学生与椭圆标准方程推导类比独立完成.) [教学疑点]双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解. (解决办法:分析各种情况,说明定义中的常数要大于O而小于|耳EI,否则就是 两条射线或没有轨迹,若没有“绝对值”就表示双曲线的一支。) [教学过程] 一、复习提问:问题1:椭圆的第一定义是什么? 问题2:椭圆的标准方程是怎样的? 二、讲授新课: 1、双曲线的概念 问:如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹 会发生什么变化?它的方程又是怎样的呢? (1)演示实验 (2)定义:平面内到两个定点%的距离的差的绝对值等于常数M (小于 IREI)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点 的距离叫做双曲线的焦距. 思考:由定义知||“;| —|M%||=2a(2a>0),2c=|§EI,若2a2c, 点M的轨迹是什么?(不存在) 2、双曲线的标准方程的推导: 解:①建系设点:以F1、F2、所在直线为X轴,线段F1F2的中垂线为y轴建 立直角坐标系,设点M (x,y)是双曲线上任意一点,R(-c,o),%(c,o) ② 写出点 M(X,y)集合P = {M\\MFt\-\MF2\= +2a} ③ 列方程: J(x + c)2 + - J(x —c)2 + = ±2a. ④ 化间:移项 J(x + c)2 += ±2a + ^(x-c)2 + y2 平方 ex _ a? = 土a』(x-c),+ 寸 平方(c2 -a2)x2 -cry- =a2(c- 一疽) 2c > 2a,艮 |]£?>口.,匕2—〃 >oiSc2 -a2 =b2(b>0) 22 代入上式:与-「= 1(“〉0,3〉0) a b 这是焦点在X轴上的双曲线的标准方程,其中单-c.O).%(c.O) 22 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为七-二= l(a〉O£〉O)§(O,-c)E,(O,c) a b一 强调指出: ① 双曲线标准方程中用“一”连接,有别于椭圆中用“+”连接. ② 双曲线标准方程中,如果亍项的系数是正的,那么焦点在X轴上;如果尸项 的系数是正的,那么焦点在y轴上,有别于椭圆通过分母的大小来判定焦 点在哪一个坐标轴上. ③ 双曲线标准方程中Me的关系是c1 ^a2 +b2,a>0,b>0但a不一定大于b,有别 于椭圆方程中,c- =a2 -b-,a>b>0. 三、例题分析: 例:1、已知双曲线的两个焦点的坐标为Fi (-5, 0), F2 (5, 0)双曲线 上一点P到Fi,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 分析:根据焦点坐标位置确定标准方程的类型,这是一种常见的方法。 22 解:因为双曲线的焦点在X轴上,所以设标准方程为二-七=1 (a>0, b>0) a b 2a=6, 2c=10a=3, c=5/. b2=52-32=16 22 9 16 例2:求焦点为(0, -6), (0, 6),经过点P (2,-5)的双曲线的标准方 程。 22 解:.焦点在y轴上,设方程为七-[=1 (a>0, b>0) a b 25 4 _r 2 _2 2 b_F = 1 n『=2。. r_s = 1 决+所=36g=1620 16 方法二:2a = |Pg|-|P§|| 评述:寻找一种简洁的方法,必须有牢固的基础和一定的变通能力,这也 是在我们的教学中应该注重的一个重要方面。 四、课堂练习: 1、下列双曲线焦点在x轴上的有,焦点在y轴上的有 o ①②③④岸3=t 2、已知双曲线4x2-y2+64 = 0上一点P到它的一个焦点距离等于1,则点 P到另一个焦点距离等于。 3、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 1) a = 4,b = 3 ,焦点在x轴上。 2) a = 3,c = 5 五、归纳小结: 1、椭圆与双曲线的联系和区别: 椭 圆 双曲线 定义式 \MFi\ + \MF2\=2a \\MF2\-\MF2\\= 2a 图 i — 4 J M t 7 形 x 7 方程 1 卜 。七二1 注b2 a> b>0 22 —+—=i j b2 a>b>0 22 n匕=i a1 b2 (.> 0, /? > 0) 22 a2 b2 (♦ > 0, /? > 0) 隹占 八、、八、、 F(土c,0) F(O,±c) F(土c,0) F(0,±c) 隹占位 八、、八、、I—L- 置与方 程的关 系 若必项的分母大,则焦点在X 轴上;若尸项的分母大,则焦点在 y轴上. 若必项的系数是正的,则焦点在X 轴上;若▽项的系数是正的,则焦点 在y轴上. a.b.c 关系 c2 = cr-b2 c2 =a2 +b2 2、布置作业: 必做题P108习题8.3.1.2.3.4 选做题生活中哪些地方应用了双曲线?这些地方应用双曲线有什么优点? 课后分组合作,上网查阅资料,并分析整理. A.生产中B.生活中C.艺术中D.军事中 2006年12月15日咸宁市高中数学优质课竞赛一等奖 指导教师:廖光明吴志光庞光华