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双曲线及其标准方程 崇阳一中赵春 ［教学目标］ 知识目标使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条 件确定双曲线的标准方程. 能力目标在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程，培养学生分析、归纳、 推理等能力. 情感目标在平等的教学气氛中，通过学生之间、师生之间的交流，合作和评 价，实现共同探究、教学相长的教学情境，结合教学内容，培养学 生科学探索精神、审美观和理论联系实际的思想. ［教学重点］双曲线的定义及其标准方程. （解决办法通过演示实验得出双曲线，再设问给出双曲线的定义，通过比较 加深对双曲线定义与标准方程的认识.） ［教学难点］双曲线标准方程的推导. （解决办法引导学生与椭圆标准方程推导类比独立完成.） ［教学疑点］双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解. （解决办法分析各种情况，说明定义中的常数要大于O而小于|耳EI,否则就是 两条射线或没有轨迹，若没有“绝对值”就表示双曲线的一支。） ［教学过程］ 一、复习提问问题1椭圆的第一定义是什么 问题2椭圆的标准方程是怎样的 二、讲授新课 1、双曲线的概念 问如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹 会发生什么变化它的方程又是怎样的呢 （1）演示实验 2定义平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数M 小于 IREI的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 的距离叫做双曲线的焦距. 思考由定义知||；| |M||2a2a0,2c|EI，若2a2c,点M的轨迹是什 么双曲线若2a 2c,点M的轨迹是什么以F为端点的两条射线若2a2c, 点M的轨迹是什么不存在 2、双曲线的标准方程的推导 解①建系设点以F1、F2、所在直线为X轴，线段F1F2的中垂线为y轴建 立直角坐标系，设点M x,y是双曲线上任意一点，R-c,o,c,o ② 写出点 MX,y集合P {M\\MFt\-\MF2\ 2a} ③ 列方程 Jx c2 - Jx c2 2a. ④ 化间移项 Jx c2 2a x-c2 y2 平方 ex _ a 土a』x-c， 寸 平方c2 -a2x2 -cry- a2c- 一疽 2c 2a,艮 |]口.,匕2〃 oiSc2 -a2 b2b0 22 代入上式与-「 1〉0,3〉0 a b 这是焦点在X轴上的双曲线的标准方程，其中单-c.O.c.O 22 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为七-二 la〉O〉OO,-cE,O,c a b一 强调指出 ① 双曲线标准方程中用“一”连接，有别于椭圆中用“”连接. ② 双曲线标准方程中，如果亍项的系数是正的，那么焦点在X轴上；如果尸项 的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过分母的大小来判定焦 点在哪一个坐标轴上. ③ 双曲线标准方程中Me的关系是c1 a2 b2,a0,b0但a不一定大于b,有别 于椭圆方程中，c- a2 -b-,ab0. 三、例题分析 例1、已知双曲线的两个焦点的坐标为Fi -5, 0, F2 5, 0双曲线 上一点P到Fi，F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 分析根据焦点坐标位置确定标准方程的类型，这是一种常见的方法。 22 解因为双曲线的焦点在X轴上，所以设标准方程为二-七1 a0, b0 a b 2a6, 2c10a3, c5/. b252-3216 22 9 16 例2求焦点为0, -6, 0, 6,经过点P 2,-5的双曲线的标准方 程。 22 解...焦点在y轴上，设方程为七-[1 a0, b0 a b 25 4 _r 2 _2 2 b_F 1 n『2。... r_s 1 决所36g1620 16 方法二2a |Pg|-|P|| 评述寻找一种简洁的方法，必须有牢固的基础和一定的变通能力，这也 是在我们的教学中应该注重的一个重要方面。 四、课堂练习 1、下列双曲线焦点在x轴上的有，焦点在y轴上的有 o ①②③④岸3t 2、已知双曲线4x2-y264 0上一点P到它的一个焦点距离等于1,则点 P到另一个焦点距离等于。 3、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 1 a 4,b 3 ,焦点在x轴上。 2 a 3,c 5 五、归纳小结 1、椭圆与双曲线的联系和区别 椭 圆 双曲线 定义式 \MFi\ \MF2\2a \\MF2\-\MF2\\ 2a 图 i 4 J M t 7 形 x 7 方程 1 卜 。七二1 注b2 a b0 22 i j b2 ab0 22 n匕i a1 b2 . 0, / 0 22 a2 b2 ♦ 0, / 0 隹占 八、、八、、 F土c,0 FO,c F土c,0 F0,c 隹占位 八、、八、、IL- 置与方 程的关 系 若必项的分母大，则焦点在X 轴上；若尸项的分母大，则焦点在 y轴上. 若必项的系数是正的，则焦点在X 轴上；若▽项的系数是正的，则焦点 在y轴上. a.b.c 关系 c2 cr-b2 c2 a2 b2 2、布置作业 必做题P108习题8.3.1.2.3.4 选做题生活中哪些地方应用了双曲线这些地方应用双曲线有什么优点 课后分组合作，上网查阅资料，并分析整理. A.生产中B.生活中C.艺术中D.军事中 2006年12月15日咸宁市高中数学优质课竞赛一等奖 指导教师廖光明吴志光庞光华