A7-数学14-分式复习(难)-学生版-数学
学科教师辅导讲义 序号:6 学员姓名: 年 级: 辅导科目:数学 课时数:2 学科教师: 学科组长签名 组长备注 课 题 分式综合复习 知识精要 知识点一、分式的有关概念及性质 1. 分式的定义: A 设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,则式子一就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则 B 分式没有意义. 注:判断一个代数式是否是分式,主要看分式的分母是否含有未知数。另外不能把原式变形(如约分 等)后再进行判断,而只能根据它的本来面目进行判断。 2222 例如:对于匕来说,—我们不能因为兰是整式,就判断匕也是整式,事实上匕是分式。 3y 3y 333y3y 2. 最简分式: 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 注:如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 3. 分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质, A_ AxM A 用式子表示是:BxM B 一 B + M (m为不等于零的整式). 知识点二 分式的运算 1. 基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: a c ac —=• b d bdr <2 _!_c _ ad±bc纭£ =登=蛆a * _a* ~b~~d~ bdVd = b 7 ==京 o u 〜小a~f正整数). 2. 零指数= I。“)3.负整数指数/ 4 .约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 注: (1)约分的主要步骤:先把分式的分子,分母分解因式,然后约去分子分母中的相同因式的最低次 幕,同时把分子分母中系数的最大公约数约去; (2) 约分的依据是分式的基本性质; (3) 若分式的分子、分母中有多项式,则要先分解因式,再约分. (4) 当分式的分子与分母的因式只差一个符号时,要先处理好符号再约分,因式变号规则如下: t[a-bT =03产 -沪=-卜-泸1(其中n为自然数)。 (5) 分式的分子,分母的多项式中有部分项不同时,不得将其中的一部分相同的项约去(约分只能约 分子分母中相同的因式)。 5. 通分 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分. 注: (1) 通分的关键是确定最简公分母,最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次 幕的积; (2) 不要把通分与去分母混淆,通分的依据是分式的基本性质,去分母的依据是等式的基本性质. 6. 分式的加减法法则 (1) 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; (2) 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算. 7. 分式的乘除法法则 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除 式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 注:(1)在分式的乘法运算中,当分子和分母都是单项式时,此时乘法运算可以直接运用法则计算:(2) 分子、分母是多项式时,要先分解因式,看能否约分,然后再乘:(3)分式的除法可以统一成分式的乘法: (4)分式乘除法中的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同。 8. 分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的. 注:分式混合运算应根据式子的特点,选择灵活简便的方法计算或化简。 知识点三、分式方程 1. 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程. 注:解分式方程必须检验,验根时把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原 方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。 3. 分式方程的增根问题 (1) 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未 知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会 出现不适合原方程的根增根; (2) 验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根. 知识点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、 恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方 程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性. 四、规律方法指导 1 .分式的概念需注意的问题 (1) 分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有 括号的作用; (2) 分式的分子可以含字母,也可以不含字母,但分母必须含有字母. 2. 约分需明确的问题 (1) 对于一个分式来说,约分就是要把分子与分母都除以同一个因式,使约分前后分式的值相等; (2) 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式 的思考过程相似; (3) 约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 3. 确定最简公分母的方法 (1) 最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; (2) 最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次慕的积. 4. 列分式方程解应用题的基本步骤 (1) 审一一仔细审题,找出等量关系; (2) 设合理设未知数; (3) 列根据等量关系列出方程; (4) 解——解出方程; (5) 验——检验增根; (6) 答——答题. 热身练习 1、若3x“ + 2y3与—是同类项,则 4 2、计算:(2。— b — 3)21 8、方程x + —= 3,则x3+—的值为 = 1+ 2x 3、当X 时,分式工有意义 1-2尤 5-W 4、当X时,分式一的值为零 (x+5Xx+3) 5、若2x63 =3^x2〃,则mn+nm= 6、因式分解:x2+(x + 2X% + 10)-2= 7、计算: 16 — m2 m-4 m — 2 y 4X 9、 方程、一 .r-1 x + 2 x-1 16 + 8m + m 2m+ 8 m + 2 .毫米 10、已知1纳米=0.000000001米,则30纳米用科学记数法表示为. 11、图形运动常见的基本形式有三种,它们是 12、正九边形是轴对称图形,它的对称轴有 条 13、计算:[一号]—3x“j 、5—2= 14、而的平方根是 15>已矢口尸二皿:],贝ijx= 16、 已知I?—x—1 = 0,贝(J代数式2010+2工一尤3 = 17、 18、 ,ci b c . 土;__a + 2b — c ,,,, 已知一 = 一 = — ,则代数式的值为 2 3 43b-b + c 2 心 3会产生增