5.5哈密顿正则方程作业

哈密顿正则作业 1.如果哈密顿函数H = £p“q。-L能表示成坐标q.和动量p«的函数，则无论H是(a) a=l 明显不包含时间变量t,还是(b)明显包含时间变量t,哈密顿正则方程均为： 5HOH ,, °、 qo =T— ； P«=-= (a = l,2---s) 1.证明：(a)H明显不包含时间变量t时： 对H = £paqa-L微分，得: a=l dH = £p[d如 +£如dpi-E|^dqa凯 a=l a=l c lac. dq a a=la=l 由5L -pa; 瓦 8L_ 瓦 d pL dt[、 =pa (利用拉氏方程) 于是：dH-£qadpa -£padqa a=la=l 又哈密顿函数H = ZpMcc -L能表示成广义坐标qa和广义动量Pa的函 a=l 炫 0n JTT 白 QH q 白 QH 数，艮“dH = ^-—dqa+^-—dpa 篇 3qa Z? 3pa 比较上面两式可得：qa- —； pa=~— (a = l,2・・・s) (b)H明显包含时间变量t时： 对H = £pMa-L微分，得: a=l dH = EP«d(ia +£4adPa — Egdq。一持dt a=la=la=l ^Qaa=l次 而（利用拉氏方程） 5qa 3qa dt^eqj ss浏 于是：dH-£qadpa -£padqa - —dt a=la=l 又哈密顿函数H = £p2a -L能表示成广义坐标、广义动量Pa和时间 a=l t的函数，即: dH = t^dqa+t^dPa+^dt a=l 3qa a=l 5pa St 比较上面两式可得：qa- —； M=-史■（a = l,2f）,且—c 血 瓦5t at 2.如果哈密顿函数H完全与t无关，证明（a）哈密顿函数是常数，（b）哈密顿函数等 于系统的总能量。 2.证明：（a）对H = £paqa-L两边微分，得： a=l dH = £padqa + Jqadpa -S^dqa 一£宰页。 a=la=la=l 英1 aa=l “q a 而3 = Pa； 牛牛卜M （利用拉氏方程） 角 a3qa dt^dqj 于是：dH-£qadpa -£padqa a=la=l ss 则：—-yqapa-Ypaqa^O,即哈密顿函数H是常数，比如说等于E。 dtM （b）由于哈密顿函数H完全与t无关，即系统处于稳定状态，因此动能T 为广义速度如的二次齐次式，即动能T = T2 o 于是根据欧拉齐次函数定理有：£顼乌［=2T a=l ^Qa ST 8T 假设位势v与广义速度g无关，＜L = T-V,即有：—=— 布。^qa T7 B QL 又因一=P 角a 所“专仇-L = g告… s cTV = y^—qn —L = 2T —L = T + V = E 即哈密顿函数H就是用正则变量表示的总能量。 3.试证用柱坐标表示的质量为m的质点在势场V(r) = V(r,0,z)中运动时的哈密顿 函数为H =上［p；+耳+ p］ + V(r,O,z)。 2m I r ) 3.证明：由H = ^paqa - L可知： a=l 日=办丸-L = prr + pe0 + pzz-L 而拉氏函 ^L = T-V = |m(r2 +r202 +i2)-V(r,O,z) 口 6L6L 2A 3L . 且： Pr =——= mr； pfi == mr 9 ； p,=——=mz Pr di d ao Pz az -/2、 a=l i2、 则 H = — p；+4 + Pz +V(r,0,z) 2m Ir-J 4.试证用直角坐标(x,y,z)表示的质量为m的质点在势场V(亍)=V(x,y⑵中运动时 2 的哈密顿函数为H = L + V(x, y.z) o 2m 4.证明：由H = ^paqa — L可知: a=l a=l H = ZPa