5.5哈密顿正则方程作业

哈密顿正则作业 1.如果哈密顿函数H pq。-L能表示成坐标q.和动量p的函数，则无论H是a al 明显不包含时间变量t,还是b明显包含时间变量t,哈密顿正则方程均为 5HOH ,, 、 qo T ； P- a l,2---s 1.证明aH明显不包含时间变量t时 对H paqa-L微分，得 al dH p[d如 如dpi-E|dqa凯 al al c lac. dq a alal 由5L -pa; 瓦 8L_ 瓦 d pL dt[、 pa 利用拉氏方程 于是dH-qadpa -padqa alal 又哈密顿函数H ZpMcc -L能表示成广义坐标qa和广义动量Pa的函 al 炫 0n JTT 白 QH q 白 QH 数，艮dH -dqa-dpa 篇 3qa Z 3pa 比较上面两式可得qa- ； pa a l,2・・・s bH明显包含时间变量t时 对H pMa-L微分，得 al dH EPdia 4adPa Egdq。一持dt alalal Qaal次 而（利用拉氏方程） 5qa 3qa dteqj ss浏 于是dH-qadpa -padqa - dt alal 又哈密顿函数H p2a -L能表示成广义坐标、广义动量Pa和时间 al t的函数，即 dH tdqatdPadt al 3qa al 5pa St 比较上面两式可得qa- ； M-史■（a l,2f）,且c 血 瓦5t at 2.如果哈密顿函数H完全与t无关，证明（a）哈密顿函数是常数，（b）哈密顿函数等 于系统的总能量。 2.证明（a）对H paqa-L两边微分，得 al dH padqa Jqadpa -Sdqa 一宰页。 alalal 英1 aal q a 而3 Pa； 牛牛卜M （利用拉氏方程） 角 a3qa dtdqj 于是dH-qadpa -padqa alal ss 则-yqapa-YpaqaO,即哈密顿函数H是常数，比如说等于E。 dtM （b）由于哈密顿函数H完全与t无关，即系统处于稳定状态，因此动能T 为广义速度如的二次齐次式，即动能T T2 o 于是根据欧拉齐次函数定理有顼乌［2T al Qa ST 8T 假设位势v与广义速度g无关，＜L T-V,即有 布。qa T7 B QL 又因一P 角a 所专仇-L g告 s cTV yqn L 2T L T V E 即哈密顿函数H就是用正则变量表示的总能量。 3.试证用柱坐标表示的质量为m的质点在势场Vr Vr,0,z中运动时的哈密顿 函数为H 上［p；耳 p］ Vr,O,z。 2m I r 3.证明由H paqa - L可知 al 日办丸-L prr pe0 pzz-L 而拉氏函 L T-V |mr2 r202 i2-Vr,O,z 口 6L6L 2A 3L . 且 Pr mr； pfi mr 9 ； p,mz Pr di d ao Pz az -/2、 al i2、 则 H p；4 Pz Vr,0,z 2m Ir-J 4.试证用直角坐标x,y,z表示的质量为m的质点在势场V亍Vx,y⑵中运动时 2 的哈密顿函数为H L Vx, y.z o 2m 4.证明由H paqa L可知 al al H ZPaja _ L Px 文 Py 项 PzZ L 而拉氏函数 L T V m又之 y2 z2-Vx,y,z 口 6L6L6L 且P、 mx； Py my; Pz- mz 2 则 H 』 Vx,y,z 2m 5. 试用哈密顿正则方程求质量为m的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微 分方程。 5. 解取x,y,z为广义坐标，则 体系的动能T |mi2 y2i2 势能V mgz 以地面为零势能点 拉氏函 T-V m文 2 y2 z2 - mgz 则Px 即x Px x m . Py y m 22 则哈密顿函数H p2a -1 身当宇 mgz P2 a al 2m 2m 2m 于是由正则方程如华 ；Pa 8H a 1,2・・s可得 . Py Pz y ； z m m Px 0； Py 0；禹mg 所以所求的运动微分方程为 mx 0 my 0 mz mg 0 6. 试用哈密顿正则方程求质量为m的质点在有势力场Vx,y,z中的运动微分方 程。 6. 解取x,y,z为广义坐标，则 体系的动能T |mi2y2 z2 拉氏函数 L T V m文 2bz2_vx,y,z 8L8L6L 贝上 Px PyM my； pz mz oxoydz 即文也；y Zr; Z m m m 222 则哈密顿函数必如也-L 些如虹 Vx,y,z ai2m 2m 2m 于是由正则方程qa ; Pa-a l,2・・・s可得 「土； y ;小 mmm Px av . av av 3T Py”瓦；P，互 所以所求的运动微分方程为 .. av mx dx .. av my oy .. av mz 、 dz 7. 如图示，质量为m的复摆绕通过某点0的水平轴作微小振 动，复摆对转轴的转动惯量为I。，质心C到悬点0的距离为 f.,试用哈密顿正则方程求该复摆的运动方程及振动周期。 7. 解取。为广义坐标，则拉格朗日函数为 1 。 L-T-V--IoO2 mgcosO 其中取悬点O为零势能点。 于是Pe i Io0＞即0 半 则哈密顿函数H paqa -L al 2 ---mgcosO 21 于是由正则方程g 6H Pa Pe j- ； Pe --mgsin0 60 所以1。 mgg sin。 0 即0 也 sine