ALevel物理有效数字问题
A Level物理有效数字问题(by: Dr. Yu) 笔者:Dr.喻麟佑,华南国际预科中心,学术副校长,美国亚利桑那大学物理学博士 、刖日: 很多教师都感觉得到,有效数字(significant figures,或简写成s.f.),无论是在剑桥 (Cambridge CIE)或者是爱得思(Edexcel)的A Level物理考试里面,总是令人有点 担心的,尤其是剑桥的A Level物理。笔者有鉴于此,特撰写此文,以减低种种不必要 的误会或困扰,请各界多加指教。 为什么会有“有效数字”的需要呢?为什么比小数点几位数更重要呢?这个有效数字的 真意,老师们如果切实领悟了,就会发觉其重要性与必要性。否则,虽然知道怎么按照 规定来使用,但不明白它真正的用意,却还是不究竟的了。 、有效数字的基本概念与含义 来描述有效数字的基本概念,就让笔者举一个最简单的例子来出发吧。我们用直尺来量 物体的长度。大家都明白,一个直尺的精密度(最小刻度),大概是1mm (1毫米),也 就是0.1 cm (0.1厘米)。好了,我们用这支尺来测量一支牙签的长度,我们得到了测量 值: 牙签的长度=6.4 cm 这是一个有效数字为2的数值。那么,如果有一位同学说,我测到的是: 牙签的长度=6.43 cm 这位同学,很可能是言过其实了,他或她怎么能够确定那0.03 cm是可靠的呢?其中猜 测的成分就比较高的了,也就是说,那多出来的一位数是“无效的”了。然而,我们说, 牙签的长度=6.4 cm,可以相当明确的、肯定的说:那不是6.3 cm或6.5 cm,而是6.4 cm,这6.4cm的两位数字,则都是“有效的” 了。再说,牙签的长度=6.4 cm,这种描 述,应该是令人满意的了,毕竟只是一支牙签。如果有些物体,精确度非常重要,而必 须测量出更精确的数值,那么,就必须考虑使用更精密的仪器来测量,而不能凭猜测的。 我们再举一个例子,还是用直尺,但是用来量度一条水库鱼的长度(笔者喜欢去吃农家 菜),如果,我们得到: 水库鱼长度=64.3 cm (很大的一条鱼) 那么,这回是一个有效数字为3的数值了。有效数字多出了一位,其中的含义是什么呢? 事实上,这条水库鱼,即使我们我们用了 2个有效数字来描述,说是64 cm,大部分的 人也是能够接受的,如果有人要求高些,也可以按要求,给出3个有效数字:64.3 cm。 我们现在来看看有效数字的含义: 先看牙签的长度: 牙签的长度=6.4 cm,测量的误差最多为加减0.1cm,或说1 mm (也就是最差的情况, 一般不太可能那么差), 那么最大的百分误差是多少呢?我们来算算: 0.1/6.4 = 0.016= 1.6% 四以说,最大的百分误差应该是加减1.6%;百分之1.6,误差不大,一般用途,可以接 受。 再看看水库鱼长度: 水库鱼长度=64.3 cm,误差最多也为加减0.1cm (亦即1mm) 那么最大的百分误差可计算如下 0.1/64.3=0.0016 = 0.16% 最大的百分误差误差则是0.16%,也就是千分之1.6 了,精密度也就是更大了,精密了 10倍。所以说,有效数字,可直接反映出百分误差的大小。 再举一个例子,比如说,我们用一个卷尺(也具有1mm的刻度),来测量一段道路的 长度,发现数值为 64.327 米(或 6432.7 cm) 这是一个有效数字为5的数值,其最大百分误差为 0.001/64.327 或 0.1/6432.7 = 0.000016 =十万分之 1.6 (注:1 mm = 0.001 m) 十万分之1.6的精密度,实在是不小,重点是,有没有那个必要?或者,在某些用途中, 十万分之1.6的精密度,有没有实际意义在?比如说,吾人报告此段道路的长度为64.3 米(三位有效,3s.f.),甚至说64米(两位有效,2s.f.), 一般来说,是令人满意的了, 如果说是64.327米,可能有人会觉得很没必要那么说,甚至于很可笑了,因为开车时、 或走路时,那0.001米,对大家来说,是没太大意义的。即使说64.3米,其误差也只有 千分之1.6 了,因为,即使最大误差为10厘米(0.1米)那么多,我们可以确定道路长 度,在最大的误差之下,则可能会是64.2米或64.4米(事实上不可能差那么多),贝!J最 大百分误差为0.1米/64.3米=0.0016 = 0.16%,也就是千分之1.6 了,针对一般用途来 说,已经是非常精确的了。 所以,以一般用途而言,2个有效数字(2s.f.)往往隐含着百分之几的误差;而3个有 效数字(3s.f.),往往隐含着千分之几的误差。至于更多的有效数字,往往是用在非常 特别的领域之中,有其非常特别的需求与用意在。 三、有效数字的表达方法 谈到有效数字的表达方法,科学记数法(scientific notation),可以说是一种表达有效数 字特别有用的方法,尤其是针对于特别大的数、或特别小的数,特别有帮助,例如 •地球的质量为:5.98xl024kg • 电子的质量为:9.11x10 31kg • 光速在真空中为:3.00X108 m/s • 质子的电量为:1.60 x10 19 C 以上相当重要的物理数值,在大学教科书的数值表中,一般是给出三位有效数字为主。 在大学物理中,如果没有特别要求,一般的计算的结果,大多是以三位有效数字以内来 表达,除非有特别要求,必须使用高于三位有效数字,才使用之。 但是,有时,科学记数法,并非最佳的表达法,很多时候,没有必要来用,例如,20 头羊,偏要写成2.00X101头羊,反而显得过分了些,比较没有必要。 我们再多看一些例子: • 0.0207,前面的两个0不是有效数字,后面的2、0、7均为有效数字,所以0.0207 是一个有3个有效数字的数值,也可以写成2.07x10-2,也是有3位有效数字。 • 4.307X106 , 4、3、0、7均为有效数字,后面的10的6次方不是有效数字,所以 4.307X106是一个有4个有效数字的数值。 • 2.60有3个有效数字,小数点前后的2、6、0均为有效数字。 • 0.01300,前面的两个0不是有效数字,但是,最后的四位数1、3、0、0均为有效 数字(最后的两个0也算)。所以这是一个有4个有效数字的数值。 • 200.340有6位有效数字。 • 2.998X108,若写成3个有效数字的数值,则为3.00X10L 以上表达有效数字的原则比较没有问题,然而,我们来看以下一个问题: Find the weight (in Newton) of a 325 kg object on the surface of the Earth, (g = 9.8 N/kg) 我们可以计算在地球表面的重力: Weight = mg = 325kg x 9.8N/kg = 3185N 要写成2位有效数字的答案(因为9.8乃2位有效数字),则可以写成Weight = 3200 N, 或者也可以写成3.2x103N,也就是说,在这里3200,是一个正确的2位有效数字的表 达,这是完全没有问题的,在A Lev