ALevel物理有效数字问题

A Level物理有效数字问题（by Dr. Yu） 笔者Dr.喻麟佑，华南国际预科中心，学术副校长，美国亚利桑那大学物理学博士 、刖日 很多教师都感觉得到，有效数字（significant figures,或简写成s.f.）,无论是在剑桥 （Cambridge CIE）或者是爱得思（Edexcel）的A Level物理考试里面，总是令人有点 担心的，尤其是剑桥的A Level物理。笔者有鉴于此，特撰写此文，以减低种种不必要 的误会或困扰，请各界多加指教。 为什么会有“有效数字”的需要呢为什么比小数点几位数更重要呢这个有效数字的 真意，老师们如果切实领悟了，就会发觉其重要性与必要性。否则，虽然知道怎么按照 规定来使用，但不明白它真正的用意，却还是不究竟的了。 、有效数字的基本概念与含义 来描述有效数字的基本概念，就让笔者举一个最简单的例子来出发吧。我们用直尺来量 物体的长度。大家都明白，一个直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm （1毫米），也 就是0.1 cm （0.1厘米）。好了，我们用这支尺来测量一支牙签的长度，我们得到了测量 值 牙签的长度6.4 cm 这是一个有效数字为2的数值。那么，如果有一位同学说，我测到的是 牙签的长度6.43 cm 这位同学，很可能是言过其实了，他或她怎么能够确定那0.03 cm是可靠的呢其中猜 测的成分就比较高的了，也就是说，那多出来的一位数是“无效的”了。然而，我们说, 牙签的长度6.4 cm,可以相当明确的、肯定的说那不是6.3 cm或6.5 cm,而是6.4 cm,这6.4cm的两位数字，则都是“有效的” 了。再说，牙签的长度6.4 cm,这种描 述，应该是令人满意的了，毕竟只是一支牙签。如果有些物体，精确度非常重要，而必 须测量出更精确的数值，那么，就必须考虑使用更精密的仪器来测量，而不能凭猜测的。 我们再举一个例子，还是用直尺，但是用来量度一条水库鱼的长度（笔者喜欢去吃农家 菜），如果，我们得到 水库鱼长度64.3 cm （很大的一条鱼） 那么，这回是一个有效数字为3的数值了。有效数字多出了一位，其中的含义是什么呢 事实上，这条水库鱼，即使我们我们用了 2个有效数字来描述，说是64 cm,大部分的 人也是能够接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，给出3个有效数字64.3 cm。 我们现在来看看有效数字的含义 先看牙签的长度 牙签的长度6.4 cm,测量的误差最多为加减0.1cm,或说1 mm （也就是最差的情况, 一般不太可能那么差）， 那么最大的百分误差是多少呢我们来算算 0.1/6.4 0.016 1.6 四以说，最大的百分误差应该是加减1.6；百分之1.6,误差不大，一般用途，可以接 受。 再看看水库鱼长度 水库鱼长度64.3 cm,误差最多也为加减0.1cm （亦即1mm） 那么最大的百分误差可计算如下 0.1/64.30.0016 0.16 最大的百分误差误差则是0.16,也就是千分之1.6 了，精密度也就是更大了，精密了 10倍。所以说，有效数字，可直接反映出百分误差的大小。 再举一个例子，比如说，我们用一个卷尺（也具有1mm的刻度），来测量一段道路的 长度，发现数值为 64.327 米（或 6432.7 cm） 这是一个有效数字为5的数值，其最大百分误差为 0.001/64.327 或 0.1/6432.7 0.000016 十万分之 1.6 （注1 mm 0.001 m） 十万分之1.6的精密度，实在是不小，重点是，有没有那个必要或者，在某些用途中， 十万分之1.6的精密度，有没有实际意义在比如说，吾人报告此段道路的长度为64.3 米（三位有效，3s.f.）,甚至说64米（两位有效，2s.f.）, 一般来说，是令人满意的了， 如果说是64.327米，可能有人会觉得很没必要那么说，甚至于很可笑了，因为开车时、 或走路时，那0.001米，对大家来说，是没太大意义的。即使说64.3米，其误差也只有 千分之1.6 了，因为，即使最大误差为10厘米（0.1米）那么多，我们可以确定道路长 度，在最大的误差之下，则可能会是64.2米或64.4米（事实上不可能差那么多），贝J最 大百分误差为0.1米/64.3米0.0016 0.16,也就是千分之1.6 了，针对一般用途来 说，已经是非常精确的了。 所以，以一般用途而言，2个有效数字（2s.f.）往往隐含着百分之几的误差；而3个有 效数字（3s.f.），往往隐含着千分之几的误差。至于更多的有效数字，往往是用在非常 特别的领域之中，有其非常特别的需求与用意在。 三、有效数字的表达方法 谈到有效数字的表达方法，科学记数法（scientific notation）,可以说是一种表达有效数 字特别有用的方法，尤其是针对于特别大的数、或特别小的数，特别有帮助，例如 地球的质量为5.98xl024kg 电子的质量为9.11x10 31kg 光速在真空中为3.00X108 m/s 质子的电量为1.60 x10 19 C 以上相当重要的物理数值，在大学教科书的数值表中，一般是给出三位有效数字为主。 在大学物理中，如果没有特别要求，一般的计算的结果，大多是以三位有效数字以内来 表达，除非有特别要求，必须使用高于三位有效数字，才使用之。 但是，有时，科学记数法，并非最佳的表达法，很多时候，没有必要来用，例如，20 头羊，偏要写成2.00X101头羊，反而显得过分了些，比较没有必要。 我们再多看一些例子 0.0207,前面的两个0不是有效数字，后面的2、0、7均为有效数字，所以0.0207 是一个有3个有效数字的数值，也可以写成2.07x10-2,也是有3位有效数字。 4.307X106 , 4、3、0、7均为有效数字，后面的10的6次方不是有效数字，所以 4.307X106是一个有4个有效数字的数值。 2.60有3个有效数字，小数点前后的2、6、0均为有效数字。 0.01300,前面的两个0不是有效数字，但是，最后的四位数1、3、0、0均为有效 数字（最后的两个0也算）。所以这是一个有4个有效数字的数值。 200.340有6位有效数字。 2.998X108，若写成3个有效数字的数值，则为3.00X10L 以上表达有效数字的原则比较没有问题，然而，我们来看以下一个问题 Find the weight in Newton of a 325 kg object on the surface of the Earth, g 9.8 N/kg 我们可以计算在地球表面的重力 Weight mg 325kg x 9.8N/kg 3185N 要写成2位有效数字的答案（因为9.8乃2位有效数字），则可以写成Weight 3200 N, 或者也可以写成3.2x103N,也就是说，在这里3200,是一个正确的2位有效数字的表 达，这是完全没有问题的，在A Lev