8函数的单调性
函数的单调性 教学目标 1, 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括,体验数学概念的产生和形成过程,培养学生从特 殊到一般的抽象概括水平. 2, 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念,理解函数增减性的几何意义,并能初步使用所学知识判 断或证明一些简单函数的单调性,培养学生对数学的理解水平和逻辑推理水平. 3, 通过对函数单调性的学习,初步体会知识发生、发展、使用的过程,培养学生形成科学的思维. 教学设计 一、问题情境 1. 如图为某市一天内的气温变化图: 是下降的.函数图像的 ‘上升 或“下降“反映了函数的一个基本性质单调性.那么,如何描述函数图 像“上升”或“下降”这个图像特征呢? 以函数y=x2, xe (一3, 0 )为例,图像由左向右下降,意味着“随着x的增大,相对应的函数值y =f(X)反而减小“,如何量化呢?取自变量的两个不同的值,如X1 = —5, X2=—3,这时有X1f(X2),但是这种量化并不精确.所以,X1,X2应具有“任意性”.所以,在区间(一8, 0)上,任取两 个 X], X2 得到 f(XI)=工;,f(X2)=.r;.当 X1f(X7).这时,我们就说 f(X) =X2在区间(一8, 0)上是减函数. 注意:在这里,要提示学生如何由直观图像的变化规律,转化为数学语言,即自变量X变化时对函数 值y的影响.必要时,对x, y可举出具体数值,实行引导、归纳和总结.这里的“都有”是对应于“任意” 的. 2, 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上,教师明晰抽象概括 设函数f (x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值Xl,X2,当X1f (1),能否判断函数f(X)在R是增函数? (2)定义在R上函数f(X)在区间(一8, 0]上是增函数,在区间(0, +oo)上也是增函数,判断 函数f (s)在R上是否为增函数. (3)观察问题情境1中气温变化图像,根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它 是增函数还是减函数. 强调:定义中XI,X2是区间D上的任意两个自变量;函数的单调性是相对于某一区间来说的. 三、解释应用 [例题] 1, 证明函数f (x) =2x+l,在(一00, +oo)是增函数. 注:要规范解题格式. 2, 证明函数f (x) =~,在区间(一8, 0)和(0, +oo)上都是减函数. 思考:能否说,函数f (x) = r在定义域(一00, 0) U (0, +oo)上是减函数? 3, 设函数y=f (x)在区间D上保号(恒正或恒负),且f (x)在区间D上为增函数,求证:f (x) 1 =兀了在区间d上为减函数. 证明:设 Xl,X2ED,且 X1VX2, (X Z—/(X,) gMl) g(H2)— 兀而/■— ,(丁|)/(工2) Vf(X)在区间 D 上保号,:.{ (xi) f(X2)>0. 又 f (x)在区间 D 上为增函数,. .f(X1) —f(X2)0, . .g (x)在 D 上为减函数. [练习] 1. 证明:(1)函数f (x)=右在(0, +8)上是增函数. (2)函数f (x) =x2—x在(一8, 2 ]上是减函数. 2. 判断函数的单调性,并写出相对应的单调区间. (1) /(x) = Y,(x=/:o). (2) /(工)=-^.&乂 2). 如果函数y=f (x)是R上的增函数,判断g (x) =kf (x),(蜉0)在R上的单调性. (1)观察这个气温变化图,说出气温在这个天内的变化情况. (2)怎样用数学语言刻画在这个天内“随着时间的增大,气温逐渐升高或下降”这个特征? 2, 分别作出下列函数的图像: (1) y=2x.(2) y=—x+2.(3) y=x1 2. 根据三个函数图像,分别指出当x6 (-co, +oo)时,图像的变化趋势? 二、建立模型 1. 首先引导学生对问题2实行探讨观察分析 观察函数 y=2x, y=—x+2, y=x2 图像,能够发现:y=2x 在(一《>, +co)上、y=x2 在(0 , +co) 上的图像由左向右都是上升的;y=-x+2在(一8, +8)上、y=x2在(一oo, 0 )上的图像由左向右都