8函数的单调性

函数的单调性 教学目标 1, 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特 殊到一般的抽象概括水平. 2, 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步使用所学知识判 断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解水平和逻辑推理水平. 3, 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、使用的过程，培养学生形成科学的思维. 教学设计 一、问题情境 1. 如图为某市一天内的气温变化图 是下降的.函数图像的‘上升或“下降反映了函数的一个基本性质单调性.那么，如何描述函数图 像“上升”或“下降”这个图像特征呢 以函数yx2, xe （一3, 0 ）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相对应的函数值y f（X）反而减小，如何量化呢取自变量的两个不同的值，如X1 5, X23,这时有X1X2, f（X1） f（X2）,但是这种量化并不精确.所以，X1，X2应具有“任意性”.所以，在区间（一8, 0）上，任取两 个 X］, X2 得到 f（XI）工；,f（X2）.r；.当 X1X2 时，都有 f（XI）f（X7）.这时，我们就说 f（X） X2在区间（一8, 0）上是减函数. 注意在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量X变化时对函数 值y的影响.必要时，对x, y可举出具体数值，实行引导、归纳和总结.这里的“都有”是对应于“任意” 的. 2, 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰抽象概括 设函数f （x）的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值Xl，X2，当X1X2时，都有f（xi）f（X2）, 那么我们就说函数f（X）在区间D上是增函数［如图8-2 （1）］. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值XI，X2，当X1X2时，都有f（Xl）f（X2）, 那么我们就说函数f（X）在区间D上是减函数［如图8-2 （2）］. 如果函数yf （x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf （x）在这个区间具有（严 格的）单调性，区间D叫作yf （x）的单调区间. 3, 提出问题，组织学生讨论 （1）定义在R上的函数f （x）,满足f （2） f （1）,能否判断函数f（X）在R是增函数 （2）定义在R上函数f（X）在区间（一8, 0］上是增函数，在区间（0, oo）上也是增函数，判断 函数f （s）在R上是否为增函数. （3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它 是增函数还是减函数. 强调定义中XI，X2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间来说的. 三、解释应用 ［例题］ 1, 证明函数f x 2xl,在一00, oo是增函数. 注要规范解题格式. 2, 证明函数f x ,在区间一8, 0和0, oo上都是减函数. 思考能否说，函数f x r在定义域一00, 0 U 0, oo上是减函数 3, 设函数yf x在区间D上保号恒正或恒负，且f x在区间D上为增函数，求证f x 1 兀了在区间d上为减函数. 证明设 Xl，X2ED,且 X1VX2， X Z/X, gMl gH2 兀而/■ ,丁|/工2 VfX在区间 D 上保号，.{ xi fX20. 又 f x在区间 D 上为增函数，..fX1 fX20,从而 gX1 gX20, ..g x在 D 上为减函数. ［练习］ 1. 证明1函数f x右在0, 8上是增函数. 2函数f x x2x在一8, 2 ］上是减函数. 2. 判断函数的单调性，并写出相对应的单调区间. 1 /x Y，x/o. 2 /工-.乂 2. 如果函数yf x是R上的增函数，判断g x kf x,蜉0在R上的单调性. 1观察这个气温变化图，说出气温在这个天内的变化情况. 2怎样用数学语言刻画在这个天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这个特征 2, 分别作出下列函数的图像 1 y2x.2 yx2.3 yx1 2. 根据三个函数图像，分别指出当x6 -co, oo时，图像的变化趋势 二、建立模型 1. 首先引导学生对问题2实行探讨观察分析 观察函数 y2x, yx2, yx2 图像，能够发现y2x 在一＞, co上、yx2 在0 , co 上的图像由左向右都是上升的；y-x2在一8, 8上、yx2在一oo, 0 上的图像由左向右都