2子数列问题的研究
专题:子数列问题的研究(2) 一、问题提出 问题1:设{a“}是公差不为0的等差数列,弓=2且成等比数列,贝U{a“}的前“项和 S“=. 问题2:设数列{《}是公差不为零的等差数列,0=2, %=6,若自然数勺/2,•••“有•••满足 3 k,me N*使得ai,ai,ak,am成等比数列,求证k为奇数. 解:(1)因为k = 7,所以at,a3, aq成等比数列,又{%}是公差d力0的等差数列, 所以(q + 2d)~ = a{ (a1] + 6d),整理得a{=2d ,又q = 2 ,所以 d — 1 , 4>i = % = 2 , q — — — — = a = 2 , 所以 q = q + (”一 l)d = “ +1,4>“ =仇 xg*T = 2“, ①用错位相减法或其它方法可求得{%如}的前r项和为7; =“X2“+ ; ①因为新的数列{c“}的前2“ -77-1项和为数列{%}的前2“-1项的和减去数列{如}前力项的和,所以 (2“ -1)(2+ 2”) 2(2--1), S*―2= Q -1)(2 一 1). 所以 S” - 22“~ + 3 • 2“~ (” 2 2,住 N*)=1. 2 —71—1 (2) 由(%+2d)2 =Q](Q]+(R — l))d ,整理得 4d2 =ald(k-5), 因为d/0,所以d = %(S5),所以0 =冬=竺竺_ =七兰 4%%2 因为存在m>k,mWN*使得a[,ai,ak,ant成等比数歹U,所以=0* = % 又在正项等差数列{«„}中,am = % + (m - l)d = % + ,又因为% >0,有2[4 + (秫-1)侬-5)] =侬一3)七 因为2[4 + (m-l)(S5)]是偶数,所以(A-3)3也是偶数,即k-3为偶数,所以X为奇数. 探究2: (1)是否存在不相同的三个数,使得三个数既成等差数列又成等比数列? (2) 是否存在这样的三元素集,使得三个元素既成等差数列又成等比数列? (3) 已知四数为,«2, a3, «4依次成等比数列,且公比g不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原 来的顺序)是等差数列,则正数g的取值集合是. {T;屯电1}. 【提示】因为公比g不为1,所以不能删去心,a4.设{aj的公差为刀,则 ① 若删去。2,则由 2。3=。1+。4 得 2Qig2=Qi+Qig3,艮[]2q2=i+g3, 整理得 q2(g—l)=(q—l)(g+l). 又qtM,则可得q2=g+i,又q>0解得 ② 若删去。3,则由 2您=。1+。4得 2。10=。1,即 2q=l+q3,整理得 q(q —l)(q+l)=q —1. 又q尹1,则可得g(q+l)=l,又q>0解得q=—. 综上所述,0=±1按. 【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算. (4) 设ai,a2,---,an是各项不为零的n(n > 4)项等差数列,且公差d/0,若将数列删去某一项后,得到 的数列(按原来顺序)是等比数列,所有数对|所组成的集合为. 探究3:给定一个数列{。〃},在这个数列里,任取秫仁N*)项,并且不改变它们在数列位〃}中 的先后次序,得到的数列称为数列{福的一个m阶子数列.已知数列杞“}的通项公式为口“=云£ (〃EN*, a为常数),等差数列如 如%是数列{福的一个3阶子数列. (1) 求a的值; (2) 等差数列缶,b2,“”是{“”}的一个m (m,3, 〃?eN*)阶了数列,且bi=: (k为常数,AGN*, AN2),求证:m^k+1; (3) 如果也}为数列{福的一个5项子列,旦也}为等差数列,证明:{林的公差d满足--0,所以2一f,/f,_|_n>0- K K\K, ~I 1J 即 m— 1 Vk+1. 所以mVA+2. 又因为m, RCN*,所以mWk+1. 9分 (3) 由题意,矢口 1日缶>/72>缶>/?4>缶>0,所以d=b2—bx0,所以 ^d=b5—bx=b5—1>— 1,即 d>——,与 d^~ —矛盾,所以 8#1. 42 所以 ,因为-5=bi+4d, b§>0f 所以 4d=b§—缶一~>——,即——, 2228 所以一-