2子数列问题的研究

专题子数列问题的研究2 一、问题提出 问题1设｛a“｝是公差不为0的等差数列，弓2且成等比数列，贝U｛a｝的前项和 S“. 问题2设数列｛｝是公差不为零的等差数列，02, 6,若自然数勺/2,有满足 3 nl n2 ■ nk〈，且a｛,a3,aHi，a“，是等比数列,则％. 3小；提示｛弓｝是以2为首项，2为公差的等差数列，.I an2n； . . 2 a｛,a3,an，---a，是以2为首项，3为公比的等比数列，.a” 2D31, .nk3kl. 1 3 n\ nknkK 得 q 2 , a3 6 f ax, a3, an , an , an ,...构成以2为首项，3为公比的等比数列， 1□rl] 即 a* 2 3t1,又。以2nk, 2nk 2 3*1 , nk 3**； 二、思考探究 探究1已知各项均为正数的等差数列｛｝的公差d不等于0,设4，,为是公比为q的等比数列｛如｝的 前三项， 1 若 k7, a 2 i 求数列杞力,｝的前n项和L； ii 将数列｛弓｝和｛々｝的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列｛[｝,设其前n项和为Sn，求 ，2“_心]22T 3.2Tn2,ne 2V*的值； 2 若存在mk,me N*使得ai,ai,ak,am成等比数列,求证k为奇数. 解1因为k 7,所以at,a3, aq成等比数列，又｛｝是公差d力0的等差数列， 所以q 2d a｛ a1] 6d,整理得a｛2d ,又q 2 ,所以 d 1 , 4i 2 , q a 2 , 所以 q q ”一 ld 1,4“ 仇 xg*T 2, ①用错位相减法或其它方法可求得｛如｝的前r项和为7； X2； ①因为新的数列｛c｝的前2 -77-1项和为数列｛｝的前2-1项的和减去数列｛如｝前力项的和，所以 2 -12 2” 22--1, S*2 Q -12 一 1. 所以 S” - 22 3 2 ” 2 2,住 N*1. 2 711 2 由％2d2 Q]Q]R ld ,整理得 4d2 aldk-5, 因为d/0,所以d S5,所以0 冬竺竺_ 七兰 42 因为存在mk,mWN*使得a[,ai,ak,ant成等比数歹U，所以0* 又在正项等差数列｛„｝中，am m - ld ,又因为％ 0,有2[4 秫-1侬-5] 侬一3七 因为2[4 m-lS5]是偶数，所以A-33也是偶数，即k-3为偶数，所以X为奇数. 探究2 1是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列 2 是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列 3 已知四数为，2, a3, 4依次成等比数列，且公比g不为1.将此数列删去一个数后得到的数列按原 来的顺序是等差数列，则正数g的取值集合是. ｛T；屯电1｝. 【提示】因为公比g不为1,所以不能删去心，a4.设｛aj的公差为刀，则 ① 若删去。2，则由 2。3。1。4 得 2Qig2QiQig3,艮[]2q2ig3, 整理得 q2glqlgl. 又qtM,则可得q2gi,又q0解得 ② 若删去。3，则由 2您。1。4得 2。10。1,即 2qlq3,整理得 qq lqlq 1. 又q尹1,则可得gqll,又q0解得q. 综上所述，01按. 【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算. 4 设ai,a2,---,an是各项不为零的nn 4项等差数列，且公差d/0,若将数列删去某一项后，得到 的数列按原来顺序是等比数列，所有数对|所组成的集合为. 探究3给定一个数列｛。〃｝,在这个数列里，任取秫仁N*项，并且不改变它们在数列位〃｝中 的先后次序，得到的数列称为数列｛福的一个m阶子数列.已知数列杞“｝的通项公式为口“云 〃EN*, a为常数，等差数列如 如％是数列｛福的一个3阶子数列. 1 求a的值； 2 等差数列缶，b2,”是｛“”｝的一个m m，3, 〃eN*阶了数列，且bi k为常数，AGN*, AN2,求证mk1； 3 如果也｝为数列｛福的一个5项子列，旦也｝为等差数列，证明｛林的公差d满足--t/0 ； 8 4 等比数列Ci，C2，，端是｛。〃｝的一个rn m3, mCN*阶子数列， 求证cic2\编式2日n. 解1因为。2，。3，。6成等差数列，所以。3 。3 。6・ 又因为2盅但土 ％寿 代入得上一士，解得0. 3分 2十。3十。3十。6十。 2 设等差数列知勿,，知的公差为d. 因为 久,所以 KK\ 1 从而db2b 己一一添， 6分 ]TTI 1 所以bm 饥伽一1畛〒一左侬1 1772 1 又因为 1加0,所以2一f,/f,_|_n0- K K\K, I 1J 即 m 1 Vk1. 所以mVA2. 又因为m, RCN*,所以mWk1. 9分 3 由题意，矢口 1日缶/72缶/4缶0,所以db2bx0. 若。11,若｛喝为杞〃｝的一个5项子歹U,得所以』必一iW 1一 ；， 又。5i4H,缶0,所以 db5bxb51 1,即 d,与 d 矛盾，所以 81. 42 所以 ,因为-5bi4d, b0f 所以 4db缶一，即, 2228 所以一-d0. 8 4 设Cij，CN*,等比数列Ci，C2,，d的公比为q. 因为C2亏土’所以广普右. 从而 C〃C1 矿如iWnWm, 〃仁 N*. 所以 C| C2亩J福J...张 13分 设函数7工工一日77，mN3, mN*. 当e0, 8时，函数Jxx 声为单调增函数. 因为当厄N*,所以1＜甲W2. 所以 16分 即。1 。2 探究4在数列也,｝中，％1,且对任意的ke N*, a2k_x, a2k, a2ki成等比数歹J,其公比为 Qk ＞吃,％i，吃2成等差数列，其公差为4，设么