222向量数乘运算及其几何意义学案
§ 2.2.3向量数乘运算及其几何意 (一) 学习目标 1. 掌握向量数乘的定义3.了解向量数乘的运算律 2. 理解向量数乘的几何意义4.掌握向量共线定理 (二) 重点难点 1. 重点:向量数乘的定义 2. 难点:向量共线定理 (三) 探究导入 给出向量a ,如图:—-~~> 求作:a+a+a即3刁以及222即-3刁 由此可知:a+a+a即3刁与向量刁的方向相,长度是向量刁的倍 -a-a-a即-3刁与向量刁的方向相___,长度是向量刁的__倍 (四) 新课学习 知识点: 1. 向量数乘的定义: 注意:由“探究导入”可知:数乘向量人a其方向、长度与向量刁有如下关系: 当九>0时,人行与向量刁的方向相,长度是其 倍 当人<o时, 当人=0时,2 a = 2. 向量数乘运算满足以下运算律: (1) ;(2) ;(3) ; 问题:设a ^0 , b =2 a ,那么5与刁有什么关系? 3. 向量共线定理:(课本P89) O 即设a^O,则5与刁共线®有唯一实数;I,使得b=Aa 例 i. (l)(-3)x4W(2)3(U + 5)-2(U-切) (3)(2a + 3b-c)-(3a-2b+c) 练习 共线向量定理: 判断下列各题中的向量刁与5是否共线: ®a-—2e , b =2e ;②a— b =—2^ +2e2. 共线向量定理应用 例2.(课本P89例6)已知任意两个非零向量a.b , OA = a + b ,0B=a+2b , 0C=a+3b,你能判断A、B、C三点是否在一条直线上? 练习:如图,已知AD=3AB , DE=3BC ,试判断AC与AE是否共线。 例3.(课本P89例7)如图,ABCD的两条对角线相交于点M,且 ~AB=a, AD=b ,你能用刁、5表示函7、MB , 味和航吗? 练习:三角形ABC中,设D为边BC的中点,求证: 1 —- (V)AD=-(AB + AC) (五) 达标训练 1.已知:a = ^! +2 e2, b =3q —2e2,求:a + b , a ~b , 3a+2b . (2)3 扇 + 2BC + CA = 2AD 2.设刁是非零向量,人是非零实数, a. a与一.&的方向相反 下列结论正确的是() B. -Aa习寸 C.刁与牙刁的方向相同 D. -A.a =|2| a 3. 四边形ABCD中,若AC=^AB+AD,则四边形ABCD的形状为() A.矩形 B.菱形 C.正万形D.平行四边•形 4. 如图:ABCD为任一四边形,E、F分别为边AD、BC中点,求证: 1 * * EF 弓(AB + DC) 5. 已知向量弓、弓不共线,若a =3ex -4e2 , b =6ex +ke2且涉〃贝U k的值 为() A. 8B. -8 C. 3D. -3 6. 已知四边形ABCD满足条件AB = DC ,试判断其的形状,并证明。思考:(1) —- 1 —- 若将条件改为AD=— BC ,其形状如何?加以证明。(2)若将条件改为 3 AD = BC, AB = AD ,其形状如何?加以证明。 7. 如图:D、E、F分别为ZIABC的边BC、CA、AB的中点,且BC = a, CA=b ―-1 - 求证:① AD =— — a ~b ; 2 AD + BE + CF=O —-1 - ②BE=a+-b ; 2 —- 1 1 - ③CF =—— a+— b ;④ 22 D AT 5——.——.——.——- 8.已知:点C在线段AB上,且一=-,则AC=AB , BC =AB CB 2 —► 4 —►—*—► 变式练习:已知AP=- AB ,则3P=AB 3一 (六)课堂小结 (七)作业布置课本P91 A组6, 9 (A)学后反思