泛函分析题1.6内积空间答案.docx
泛函分析题1_6内积空间p75 1.6.1 (极化恒等式)设。是复线性空间X上的共辗双线性函数,夕是由“诱导的 二次型,求证:Vx, yeX9有 y) = (1/4)-(q(x + y) - q(x - y) + i q(x + iy) - i q(x - i y)). 证明:Vx, yeX, q(x + y) - q(x -y) = a(x + y, x + y) - a(x -y9x-y) =(Q(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) - 3a, x) - a(x, y) - a(y, x) + a(y, y)) =2 (〃(%, y) + a(y, x)), 将iy代替上式中的y,有 式x + iy)-q(x-iy) = 2 (〃(x, i y) + a(i y, x)) 二 2 (一i a(x, y) + i y, x)), 将上式两边乘以i,得到 i q(x + iy) - i q(x - iy) = 2 ( y) - a( y, x)), 将它与第一式相加即可得到极化恒等式. 1.6.2 求证在C[a,切中不可能引进一种内积(・,・),使其满足 (fJ)i/2 = rmiXa