泛函分析题1.6内积空间答案.docx

泛函分析题1_6内积空间p75 1.6.1 极化恒等式设。是复线性空间X上的共辗双线性函数，夕是由“诱导的 二次型,求证Vx, yeX9有 y 1/4-qx y - qx - y i qx iy - i qx - i y. 证明Vx, yeX, qx y - qx -y ax y, x y - ax -y9x-y Qx, x ax, y ay, x ay, y - 3a, x - ax, y - ay, x ay, y 2 〃, y ay, x， 将iy代替上式中的y,有 式x iy-qx-iy 2 〃x, i y ai y, x 二 2 一i ax, y i y, x, 将上式两边乘以i,得到 i qx iy - i qx - iy 2 y - a y, x, 将它与第一式相加即可得到极化恒等式. 1.6.2 求证在C[a,切中不可能引进一种内积・，・，使其满足 fJi/2 rmiXaxb\fx | V/e C[a, b]. 证明若C[a,句中范数||・||是可由某内积・，诱导出的， 则范数II・II应满足平行四边形等式. 而事实上，。出,句中范数||・||是不满足平行四边形等式的， 因此，不能引进内积・，・使其适合上述关系. 范数卜||是不满足平行四边形等式的具体例子如下 设/ - x-d/b-ci9 gx - b - x/b - d9 \f\\ \\g\\ \\fg\\ \\f-g\\ 显然不满足平行四边形等式. 1.6.3 在厂。7]中，求证函数不』0,”-丁-「*7〃|\/]2。7|堆单位球 面上达到最大值，并求出此最大值和达到最大值的元素. 证明VxgL2[0, 7],若|| x || 二 1,由 Cauchy-Schwarz 不等式，有 I f[o,7] eT rxr drf J[o,7] eT r2 dr J[o,7i xr2 dr -ho,7] eT r2 dr- e2T\[r\ e1Tdz- 1- e2T/2. 因此，该函数的函数值不超过1-27/2产. 前面的不等号成为等号的充要条件是存在/LeW,使得x⑺ -. 再注意 || x || 二 1,就有Jon AeTr2 dr- 1. 解出;I 二 le-2T/2-”2. 故当单位球面上的点MC 1-6-27/2-1/2.6- Tt时， 该函数达到其在单位球面上的最大值1-27/2产2. 164设M,N是内积空间中的两个子集，求证M N 证明若 xeN\ 则X. y 0. 而 A/ N,故X/y6M,也有x, y 0. 因此所以，NyML 1.6.5 设 M是 Hilbert 空间 X 中的子集,求证M11 cl spanM. 证明1 Vxe M9 A/匕 总有, y 0.故有％ 所以，从而得到〃口〃，、 因V尸是线性子空间，所以，spanMM，， 又/是闭线性子空间,所以，cl spanMCM11. ⑵VxA/\因cl span是X的闭子空间， 故存在x关于cl span M的正交分解 x x\ xiy 其中 xi wcl span A/, 2ecl span Af 1, 从 M cl span M,根据习题 1.6.4,我们有cl span M 1c Af1. 所以X2E M1. 因故总有x,y O. 而 y_L M 蕴含 yspan M. 再由内积的连续性，得到肚cl span M. 所以，X2, y x- xi, y x, y-孙 y 0. 即ML,总有X2, y 0. 所以 X2E A/11. 故 2eA/1u Af1因此X2, 2 0. 这样就得至lj X2 ，，x x\ X2x\ 8 xicl span M. 所以，M11 cl span M. 1.6.6 在〃［一1, 1］中，问偶函数集的正交补是什么证明你的结论. 解设偶函数集为,奇函数集为0. 显然，每个奇函数都与正交.故奇函数集O E与 VfeE1,注意到了总可分解为/g /z,其中g是奇函数，。是偶函数. 因止匕有 0 /z g 九 /z g, /z 九。 /. 故几乎处处为①即/二g是奇函数. 所以有空0. 这样就证明亍偶函数集E的正交补是奇函数集。 1.6.7 在〃伍,勿中，考察函数集s二｛「日〃 1若|。一〃|41,求证S1 ｛0｝； ⑵若|。求证S，w｛。｝； 证明首先直接验证，VceZ, S ｛e日｝是乙2匕c 1］中的一个正交集. 再将其标准化，得到一个规范正交集Si ｛pnx dne27tinx\ ｝. 其中的d〃二||e2日并且只与〃有关，与c的选择无关. 1当5-。1时，根据实分析结论有S｛。｝. 当 Z - 〃 1 时，若 b］,且 ueS1, 我们将u延拓成［〃,a 1］上的函数v,使得vx 0 VxgZ, a 1］. 则 vel3［a, a I］. 同时把5 ｛e1Kinx\n7 ｝也看成〃[q,q 1]上的函数集. 那么，在乙2伍，[1]中，有眩5\ 根据前面的结论，u 0. 因止匕,在此[a,句中就有〃。. 故也有S ｛。｝； 2分成两个区间[七。1和g1,切来看. 在1上取定非零函数x 1 VXE伍-1. ，己 Pn \[a,h-\ X仰x dx. 我们再把U看成是g - 2 - 1]上的函数在g - 2, 〃上去值为0. 那么p〃就是u在l｝[b - 2,匕- 1]上关于正交集5i ｛pnx |/ ｝的Fourier系数. 由 Bessel 不等式，I Pn \2 oo. 再用Riesz-Fischer定理，在l7[b - 1,切中，Z// p〃 3收敛. 并且，若令 V Zne,pnpn,则匕侬一 p〃V 女/. 设/ [a, b] f II为fix - 〃x当 xe[a, b- 1, fx ux当 xe[b- 1, /]. 则一团a], /w。， 但工