四年级奥数——高斯求和
第1讲 高斯求和 德国闻名数学家高斯幼年时代聪慧过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算: 1+2+3+4+…+99+100=? 老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心视察发觉: 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。 1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为 (1+100)×100÷2=5050。 小高斯运用的这种求和方法,真是聪慧极了,简洁快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最终一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。 例如: (1)1,2,3,4,5,…,100; (2)1,3,5,7,9,…,99; (3)8,15,22,29,36,…,71; 其中(1)是首项为 ,末项为 ,公差为 的等差数列; (2)是首项为 ,末项为 ,公差为 的等差数列; (3)是首项为 ,末项为 ,公差为 的等差数列; 由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式: 和=(首项+末项)×项数÷2。 项数=(末项-首项)÷公差+1。 末项=首项+公差×(项数-1)。 对于随意一个项数为奇数的等差数列来说,中间一项的值等于全部项的平均数,也等于首项和末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理 【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1+2+3+…+1999=? 【思维拓展训练一】 1、11+12+13+…+31=? 2、3+7+11+…+99=? 例2(2+4+6+……+2012)-(1+3+5+……+2011) 【思维拓展训练二】 1、 (7+9+11+……+25)-(5+7+9+……+23) 2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60 例3 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。 【思维拓展训练三】 1、 求首项是34,公差是5的等差数列的前50项的和。 例4 求全部加6以后被11整除的三位数的和 【思维拓展训练四】 1、100以内全部加5后是6的倍数的数的和是多少? 2、 在1——400中,全部不是9的倍数的数的和是多少? 3、 求全部被7除余数是1的三位数的和? 例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成? 【思维拓展训练五】 1、 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;其次次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球? 例题6 建筑工地有一批砖,码成如下图的形态,最上层2块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比它上面一层多4块砖,已知最下一层2106块砖,问中间一层有多少块砖?这堆砖共有多少块? 【思维拓展训练六】 1、 求从1到2000的自然数中,全部偶数之和与全部奇数之和的差。 2、 连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少? 【课堂巩固训练题】 1.计算下列各题: (1)2+4+6+…+200; (2)17+19+21+…+39; (3)5+8+11+14+…+50; (4)3+10+17+24+…+101。 2. 求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。 3. 求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。 4. 时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次? 5. 求100以内除以3余2的全部数的和。 6.在全部的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个? 7、100个连续自然数(从小到大排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个,…,第99个数,再把剩下的50个数相加,和是多少? 8、 把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么第1个数和第6个数各是多少? 9、 把27枚棋子放入7个不同的空盒中,假如要求每个盒子都不空,且随意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能,写出详细方案,若不能,说明理由。