四年级奥数——高斯求和

第1讲 高斯求和 德国闻名数学家高斯幼年时代聪慧过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算 1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心视察发觉 1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1100）1002＝5050。 小高斯运用的这种求和方法，真是聪慧极了，简洁快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最终一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如 （1）1，2，3，4，5，，100； （2）1，3，5，7，9，，99； （3）8，15，22，29，36，，71； 其中（1）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列； （2）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列； （3）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列； 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式 和（首项末项）项数2。 项数（末项-首项）公差1。 末项首项公差（项数-1）。 对于随意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于全部项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理 【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋＋1999＝ 【思维拓展训练一】 1、11＋12＋13＋＋31＝ 2、3＋7＋11＋＋99＝ 例2（2462012）-（1352011） 【思维拓展训练二】 1、 （791125）-（57923） 2、12-345-678-95859-60 例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 【思维拓展训练三】 1、 求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。 例4 求全部加6以后被11整除的三位数的和 【思维拓展训练四】 1、100以内全部加5后是6的倍数的数的和是多少 2、 在1400中，全部不是9的倍数的数的和是多少 3、 求全部被7除余数是1的三位数的和 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成 【思维拓展训练五】 1、 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；其次次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球 例题6 建筑工地有一批砖，码成如下图的形态，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比它上面一层多4块砖，已知最下一层2106块砖，问中间一层有多少块砖这堆砖共有多少块 【思维拓展训练六】 1、 求从1到2000的自然数中，全部偶数之和与全部奇数之和的差。 2、 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少 【课堂巩固训练题】 1.计算下列各题 （1）2＋4＋6＋＋200； （2）17＋19＋21＋＋39； （3）5＋8＋11＋14＋＋50； （4）3＋10＋17＋24＋＋101。 2. 求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 3. 求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。 4. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问时钟一昼夜敲打多少次 5. 求100以内除以3余2的全部数的和。 6.在全部的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个 7、100个连续自然数（从小到大排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个，，第99个数，再把剩下的50个数相加，和是多少 8、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第1个数和第6个数各是多少 9、 把27枚棋子放入7个不同的空盒中，假如要求每个盒子都不空，且随意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出详细方案，若不能，说明理由。