四年级奥数——页码问题
第14讲 页码问题 顾名思义,页码问题与图书的页码有亲密联系。事实上,页码问题就是依据书的页码而编制出来的一类应用题。 编一本书的页码,一共须要多少个数码呢?反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数。这是页码问题中的两个基本内容。 为了顺当地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系。一位数共有9个,组成全部的一位数须要9个数码;两位数共有90个,组成全部的两位数须要2×90=180(个)数码;三位数共有900个,组成全部的三位数须要3×900=2700(个)数码……为了清晰起见,我们将n位数的个数、组成全部n位数须要的数码个数、组成全部不大于n位的数须要的数码个数之间的关系列表如下: 个数 所需数码个数 不大于该位数所需数码个数 一位数 9 9 9 两位数 90 180 189 三位数 900 2700 2889 四位数 9000 36000 38889 五位数 90000 450000 488889 由上表看出,假如一本书不足100页,那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个;假如某本书排的页码用了10000个数码,因为 2889<10000<38889,所以这本书确定是上千页。 【例题讲解及思维拓展训练】 例1一本书共204页,需多少个数码编页码? 分析与解:1~9页每页上的页码是一位数,共需数码 1×9=9(个); 10~99页每页上的页码是两位数,共需数码 2×90=180(个); 100~204页每页上的页码是三位数,共需数码 (204-100+1)×3=105×3=315(个)。 综上所述,这本书共需数码 9+180+315=504(个)。 【思维拓展训练一】 1、一本小说的页码,在排版时必需用2211个数码。问:这本书共有多少页? 分析:因为189<2211<2889,所以这本书有几百页。由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211-189)个,所以三位数的页数有 (2211-189)÷3=674(页)。 因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有 99+674=773(页)。 解:99+(2211——189)÷3=773(页)。 答:这本书共有773页。 例2一本书的页码从1至62、即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次。结果,得到的和数为2000。问:这个被多加了一次的页码是几? 分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为 1+2+…+61+62 =62×(62+1)÷2 =31×63 =1953。 由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是 2000——1953=47。 【思维拓展训练二】 1、有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131。老师说小明计算错了,你知道为什么吗? 分析与解:48页书的全部页码数之和为 1+2+…+48 =48×(48+1)÷2 =1176。 依据小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176——1131=45。这两个页码应当是22页和23页。但是依据印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页,这是不行能的。 例3将自然数按从小到大的依次无间隔地排成一个大数:1234567891011l2…问:左起第2000位上的数字是多少? 分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603……2,所以2000个数码排到第99+603+1=703(页)的第2个数码“0”。所以本题的第2000位数是0。 【思维拓展训练三】 1、排一本400页的书的页码,共须要多少个数码“0”? 分析与解:将1~400分为四组: 1~100,101~200,201~300,301~400。 在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0。所以共须要数码“0” 11+20×3=71(个)。 【课堂巩固训练题】 1. 一本书共有40页,那么共须要多少个数码编页码? 2. 一本书共有200页,那么共须要多少个数码编页码? 3. 排一本小说的页码,须要用2202个数码,这本书共有多少页? 4. 一本书的页码为1至62,即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码漏加了。结果,得到的和数为1939。问:这个被漏加的页码是几? 5. 有一本96页的书,中间缺了一张。假如将残书的全部页码相加,那么可能得到偶数吗? 6.将自然数按从小到大的依次无间隔地排成一个大数: 1234567891011121314… 问:左起第1000位数是几? 7.有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。假如第一页为图画,那么其次、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。假如第一页为文字,那么其次、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。试问: (1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画? (2)假如这本书有99页,那么多少页有图画? 学习,就是努力争取获得自然没有给予我们的东西。 3 / 3