《两角差的余弦公式》教学设计与反思
《两角差的余弦公式》教学设计与反思 汉寿县第一中学李玉佩 一、教材分析 1. 教材的地位和作用 本节课的内容具有承上、启下和辐射的作用。它是前面所学的任意角的三角 函数和诱导公式等知识的延伸,同时又是两角和余弦、两角和与差正弦、正切及 二倍角公式的基础。对于三角变换、三角函数式的化简、求值和恒等式证明等问 题的解决有重要的支撑作用。 2. 教学重点与难点 ⑴教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式及其应用。 ⑵教学难点:两角差的余弦公式的探索过程的组织和适当引导。这里不仅有 学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已 学知识和方法的能力问题等。 设计依据:由于“两角差的余弦公式的推导及应用”对后几节内容能否掌握 具有决定意义,因此它是本节课的一个重点。由于“两角差的余弦公式的推导” 需要构造向量来解决,所以它是本节课的一个难点。 二、教学目标 1. 知识与技能 使学生理解两角差的余弦公式的推导,并能初步应用它们进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明。 2. 过程与方法 ⑴经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学发现 和创造的过程,体会向量和三角函数间的联系,体会特殊到一般及数形结合的思 ⑵在诱导公式的推导过程和公式的初步运用中体会角的代换思想。 3・情感、态度、价值观 ⑴让如忐式的推导和运用过程中体验成功的喜悦,培养学生不怕困难、 勇于探索的求知精神; ⑵通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美,给学生以美的陶冶。 三、教学教法 著名的荷兰现代教育家弗兰•登塔尔认为,学生具有“潜在的发展能力”, 数学教育就应当从发展这种潜能出发,从学生熟悉的现实生活开始,从生活问题 到数学问题,从具体到抽象,从特殊到一般,逐步让学生通过自己的发现去学习 数学,获取知识,以实现数学问题的“再发现”过程。据此,我对本节课的教学 方法采用“自主探究、教师引导、小组讨论、合作交流”的教学模式,来完成公 式的发现、推导和应用过程。 教法:教师与学生展开双边活动。提问——探索,重在交流;启发——证明, 重在发现;演示一应用,重在创新。 数学思想方法贯穿其中:联想法一通过余弦值联想到余弦线;类比法一 差角公式的右边与向量数量积的坐标表示;数形结合 三角函数方法、向量方 法;分类讨论——推导过程、例题。 学法:自主探究——公式的猜想与发现;小组讨论——用向量方法证明公式; 合作交流——两角差与相应向量的夹角。教师引导贯穿始终。 四、课堂结构分析 合理的课堂结构设计及其实施是完成课堂教学任务的根本保证,也是实施素 质教育、大面积提高教学质量的基本途径。为了顺利完成本节课的教学,根据建 构主义观点和数学学科的特点,站在教师引导学生的角度,采用如下的课堂教学 结构: 教学环节 时间分配 自主建构模式 目的任务 复习检查 约5分钟 知识与技能的准备 引入新课 问题情境 创设情境,提出问题,情感预热 建构数学 约25分钟 学生活动 意义建构 数学理论 数学运用 启发引导学生分析解决问题,理解数学 意义,建立数学理论 巩固练习 约10分钟 应用数学,加深理解,训练技能 小结提升 约4分钟 回顾反思 回顾反思,小结提升 课外作业 约1分钟 进一步巩固练习,提局能力 [设计意图] 1. “复习检查”和“引入新课”的时间合在一起有两个意图,一个是要求复 习和引入总共用时不能太多,需要把课开始后5分钟到30分钟这段课堂教学的 最佳时间用于建构数学;另一个是引入常常也是在旧知识的基础上; 2. “建构数学”的主要目的是一定要让学生成为学习的主人,方法上以“启 发引导学生分析解决问题,理解数学意义,建立数学理论”为主; 3. “巩固练习”是必须的,这是由教育学中的巩固性教学原则和数学学习中 意义的保持和遗忘规律决定的。数学的练习尤其重要,因为不仅许多数学理论需 要通过具体数学问题的解答来进一步理解,而且数学技能的形成、数学能力的提 高都需要通过一定量的练习来完成。 五、教学过程 本节课的教学过程分六个环节。 1. 创设情景,引入新课 提出有关章头图的一个实例。 从实例引入课题,目的在于从中提出问题,引入研究课题。 ⑴实例中,存在研究象tan(45° + a)这样包含两个角的三角函数的需要。 ⑵实例中,存在研究45。+a的三角函数与单角45。、a的三角函数的关系的 需要。 [设计意图] 数学源于生活,引导学生从生活中发现数学,体会数学就在身边,同时,数 学也是服务于生活与实践的。 2. 明确任务,探索归纳 ⑴对于30。、45。、60。等特殊角的三角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可以进一步求120。、210。、690。等角的三角函数值,我们希望再引进一些公 式,能够求更多的非特殊角的三角函数值,同时也为三角恒等变换提供理论依据。 ⑵若已知a、”的三角函数值,那么cos(a-”)的值能否确定?它与a、”的 三角函数值有什么关系?这是我们本课时需要探索的问题。 [设计意图] 新知识的产生与形成离不开发散思维与联想,对已学知识的深入思考一定会 引出新的矛盾,这些矛盾是激励学生成长的重要因素,也是激发学生数学兴趣的 途径。 为了引导好学生探索归纳,我设计了 8个思考。 思考1:设a、”为两个任意角,你能判断cos(6Z - ^) = cos a - cos /3恒成立 吗? 思考2:我们设想cos0-”)的值与a、”的三角函数值有一定关系,观察 下表中的数据,你能有什么发现? cos(60°-30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° V3 1 也 1 2 2 2 2 2 cos(120°-60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60° j_ _j_ j_ V3 V3 2 2 2 2 2 思考3: 一般地,你能猜想出cos0-”)等于什么吗? 思考4:如图1,设a、”为锐角,且a>/3,角a的终边与单位圆的交点 为R, /PQP = /3,那么cos(a-”)表示哪条线段长? 思考5:如何用线段分别表示sin”和cos”? 思考6: cos a cos /3 = 0A cos a ,它表示哪条线段长? sin asm/3 = AP sin a ,它表示哪条线段长? 思考7:利用OM =OB + BM =OB + CP可得什么结论? 思考8:上述推理能说明对任意角a、”都有 一 cos(a — /3)= cos a cos /? + sin a sin (3 成立吗? [设计意图] 循序渐进,尊重知识的形成规律,让学生感受知识的产生是自然而然的、水 到渠成的。 3. 自主探究,证明公式 为了帮助学生突破难点,我设计了 4个探究。 探究1:根据cos a cos + sin a sin p的结构特征,你能联想到一个相关的计 算原理吗? 探究2:如图2,设角a、”的终边与单位圆的交点分别为A、B,则