《两角差的余弦公式》教学设计与反思

两角差的余弦公式教学设计与反思 汉寿县第一中学李玉佩 一、教材分析 1. 教材的地位和作用 本节课的内容具有承上、启下和辐射的作用。它是前面所学的任意角的三角 函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和余弦、两角和与差正弦、正切及 二倍角公式的基础。对于三角变换、三角函数式的化简、求值和恒等式证明等问 题的解决有重要的支撑作用。 2. 教学重点与难点 ⑴教学重点通过探索得到两角差的余弦公式及其应用。 ⑵教学难点两角差的余弦公式的探索过程的组织和适当引导。这里不仅有 学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已 学知识和方法的能力问题等。 设计依据由于“两角差的余弦公式的推导及应用”对后几节内容能否掌握 具有决定意义，因此它是本节课的一个重点。由于“两角差的余弦公式的推导” 需要构造向量来解决，所以它是本节课的一个难点。 二、教学目标 1. 知识与技能 使学生理解两角差的余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明。 2. 过程与方法 ⑴经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现 和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系，体会特殊到一般及数形结合的思 ⑵在诱导公式的推导过程和公式的初步运用中体会角的代换思想。 3・情感、态度、价值观 ⑴让如忐式的推导和运用过程中体验成功的喜悦，培养学生不怕困难、 勇于探索的求知精神； ⑵通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶。 三、教学教法 著名的荷兰现代教育家弗兰登塔尔认为，学生具有“潜在的发展能力”， 数学教育就应当从发展这种潜能出发，从学生熟悉的现实生活开始，从生活问题 到数学问题，从具体到抽象，从特殊到一般，逐步让学生通过自己的发现去学习 数学，获取知识，以实现数学问题的“再发现”过程。据此，我对本节课的教学 方法采用“自主探究、教师引导、小组讨论、合作交流”的教学模式，来完成公 式的发现、推导和应用过程。 教法教师与学生展开双边活动。提问探索，重在交流；启发证明， 重在发现；演示一应用，重在创新。 数学思想方法贯穿其中联想法一通过余弦值联想到余弦线；类比法一 差角公式的右边与向量数量积的坐标表示；数形结合 三角函数方法、向量方 法；分类讨论推导过程、例题。 学法自主探究公式的猜想与发现；小组讨论用向量方法证明公式; 合作交流两角差与相应向量的夹角。教师引导贯穿始终。 四、课堂结构分析 合理的课堂结构设计及其实施是完成课堂教学任务的根本保证，也是实施素 质教育、大面积提高教学质量的基本途径。为了顺利完成本节课的教学，根据建 构主义观点和数学学科的特点，站在教师引导学生的角度，采用如下的课堂教学 结构 教学环节 时间分配 自主建构模式 目的任务 复习检查 约5分钟 知识与技能的准备 引入新课 问题情境 创设情境，提出问题，情感预热 建构数学 约25分钟 学生活动 意义建构 数学理论 数学运用 启发引导学生分析解决问题，理解数学 意义，建立数学理论 巩固练习 约10分钟 应用数学，加深理解，训练技能 小结提升 约4分钟 回顾反思 回顾反思，小结提升 课外作业 约1分钟 进一步巩固练习，提局能力 ［设计意图］ 1. “复习检查”和“引入新课”的时间合在一起有两个意图，一个是要求复 习和引入总共用时不能太多，需要把课开始后5分钟到30分钟这段课堂教学的 最佳时间用于建构数学；另一个是引入常常也是在旧知识的基础上； 2. “建构数学”的主要目的是一定要让学生成为学习的主人，方法上以“启 发引导学生分析解决问题，理解数学意义，建立数学理论”为主； 3. “巩固练习”是必须的，这是由教育学中的巩固性教学原则和数学学习中 意义的保持和遗忘规律决定的。数学的练习尤其重要，因为不仅许多数学理论需 要通过具体数学问题的解答来进一步理解，而且数学技能的形成、数学能力的提 高都需要通过一定量的练习来完成。 五、教学过程 本节课的教学过程分六个环节。 1. 创设情景，引入新课 提出有关章头图的一个实例。 从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入研究课题。 ⑴实例中，存在研究象tan45 a这样包含两个角的三角函数的需要。 ⑵实例中，存在研究45。a的三角函数与单角45。、a的三角函数的关系的 需要。 ［设计意图］ 数学源于生活，引导学生从生活中发现数学，体会数学就在身边，同时，数 学也是服务于生活与实践的。 2. 明确任务，探索归纳 ⑴对于30。、45。、60。等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式 还可以进一步求120。、210。、690。等角的三角函数值，我们希望再引进一些公 式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。 ⑵若已知a、”的三角函数值，那么cosa-”的值能否确定它与a、”的 三角函数值有什么关系这是我们本课时需要探索的问题。 ［设计意图］ 新知识的产生与形成离不开发散思维与联想，对已学知识的深入思考一定会 引出新的矛盾，这些矛盾是激励学生成长的重要因素，也是激发学生数学兴趣的 途径。 为了引导好学生探索归纳，我设计了 8个思考。 思考1设a、”为两个任意角，你能判断cos6Z - cos a - cos /3恒成立 吗 思考2我们设想cos0-”的值与a、”的三角函数值有一定关系，观察 下表中的数据，你能有什么发现 cos60-30 cos 60 cos 30 sin 60 sin 30 V3 1 也 1 2 2 2 2 2 cos120-60 cos 120 cos 60 sin 120 sin 60 j_ _j_ j_ V3 V3 2 2 2 2 2 思考3 一般地，你能猜想出cos0-”等于什么吗 思考4如图1,设a、”为锐角，且a/3,角a的终边与单位圆的交点 为R, /PQP /3,那么cosa-”表示哪条线段长 思考5如何用线段分别表示sin”和cos” 思考6 cos a cos /3 0A cos a ,它表示哪条线段长 sin asm/3 AP sin a ,它表示哪条线段长 思考7利用OM OB BM OB CP可得什么结论 思考8上述推理能说明对任意角a、”都有 一 cosa /3 cos a cos / sin a sin 3 成立吗 ［设计意图］ 循序渐进，尊重知识的形成规律，让学生感受知识的产生是自然而然的、水 到渠成的。 3. 自主探究，证明公式 为了帮助学生突破难点，我设计了 4个探究。 探究1根据cos a cos sin a sin p的结构特征，你能联想到一个相关的计 算原理吗 探究2如图2,设角a、”的终边与单位圆的交点分别为A、B,则