《利用导数探究函数的零点问题》的教学设计与反思
《利用导数探究函数的零点问题》的教学设计与反思 陈馥如(汕头市,汕头市潮阳区棉城中学) 一、教学目标: ▲知识与技能目标 (1) 通过对实例的探究,发现函数的零点与函数的导数之间的关系,加深函数的导数的应用; (2) 会利用函数的导数来研究函数的单调性、极值,强化函数与方程思想、分类讨论思想、 数形结合思想和转化化归思想的自觉提炼与运用。 ▲过程与方法目标 通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 ▲情感、态度与价值目标 正确认识导数在研究函数图象、性质中的重要作用,养成认真观察事物、分析问题、发 现事物之间的本质联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 ▲能力目标 (1) 思维能力:会把不同问法的问题化归成同一类问题来解决,培养学生的数形结合的 思想方法;培养学生的辩证思维能力。 (2) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力。 (3) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题,探究解决问题的一般 的思想、方法和途径。 二、教学重难点 •教学重点:函鑫的零点与其导数的关系。 •教学难点:利用导数探究函数的零点问题。 •教具准备:多媒体课件、几何画板。 •授课类型:复习课 三、教学设计思路: 1、通过课前热身练习巩固函数的导数与函数的单调性,极值的关系; 2、创设问题情境,引入课题; 3、通过探究活动,得到解决该类问题的通法; 4、通过例题及巩固练习,强化函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归 思想的自觉提炼与运用; 5、巩固总结:回顾本节课的思想方法;强调解决问题的关键; 6、课后作业。 四、教学过程: 第一环节:课前热身练习 如图1是函数y = f (x)的导函数y =扩(x)的图象,则下面判断正确的有. (1)在(-1, 1)内,y(x)是增函数;(2)在(4, 5)内,y(x)是增函数; ⑶当x= 1时,y = f (x)有极大值; ⑷当x=4时,y = /(X)有极小值. 第二环节: 探究活动:函数/(%) = %3-3%2+1 思考1:能不能画出函数的草图?(学生回答后,教师利用多媒体投影该函数图象如图2) 思考2:函数/ (》)有几个零点? 思考3:方程了3+1 = 3*2在区间(°, 2)内有几个解? 思考4:函数了(X)= x3 -3x2 + a(a e R)有几个零点? 探究活动:函数/“(X)= x3 -3x2 + a(a e R)的零点个数. 解:易知该函数的定义域是R, f (x) = 3x2 -6x = 3x(x-2) 由f (x) =。得’工=0或》=2 当x变化时,f\x) , /Xx)的变化情况如下表: X (-oo,0) 0 (0,2) 2 (2,+co) f M + 0 — 0 + f(x) 7 a X a-4 7 因此函数/(%)的极大值是/(0) = a ,极小值是/(2) = a — 4. ① 当a)在x = -l处取得极值,1) = 3-3。= 0, 解得a = l,此时,/(x) = x3 -3x-l 直线y = m与^ = f(x)的图象有三个不同的交点,等价于函数g(x) = f{x)-m有三个不同 的零点. g(x) = x3 -3x-1 -m ,g (x) = 3x2 -3 - 3(x + l)(x-l) 由(1)知,g(x)的极大值为g(-1) = 1 一所,极小值为g(l) = -3 - m 要使直线y = m与y = f(x)的图象有三个不同的交点, w十=1 一 m > 0,、 则需,即一3 0) 函数/(x)的图象与g(x)的图象有且只有三个不同的交点, 等价于函数/z(x)的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点. h (x) = 2x-8 + -= 2(xT)(a 3),由入,顷)=。得工=】或工=3 XX 当x变化时,h (x), /z(x)的变化情况如下表: X (0,1) 1 (1,3) 3 (3