《利用导数探究函数的零点问题》的教学设计与反思

利用导数探究函数的零点问题的教学设计与反思 陈馥如汕头市，汕头市潮阳区棉城中学 一、教学目标 ▲知识与技能目标 1 通过对实例的探究，发现函数的零点与函数的导数之间的关系，加深函数的导数的应用； 2 会利用函数的导数来研究函数的单调性、极值，强化函数与方程思想、分类讨论思想、 数形结合思想和转化化归思想的自觉提炼与运用。 ▲过程与方法目标 通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 ▲情感、态度与价值目标 正确认识导数在研究函数图象、性质中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发 现事物之间的本质联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 ▲能力目标 1 思维能力会把不同问法的问题化归成同一类问题来解决，培养学生的数形结合的 思想方法；培养学生的辩证思维能力。 2 实践能力培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力。 3 数学活动能力培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 4 创新意识能力培养学生思考问题、并能探究发现一些问题，探究解决问题的一般 的思想、方法和途径。 二、教学重难点 教学重点函鑫的零点与其导数的关系。 教学难点利用导数探究函数的零点问题。 教具准备多媒体课件、几何画板。 授课类型复习课 三、教学设计思路 1、通过课前热身练习巩固函数的导数与函数的单调性，极值的关系； 2、创设问题情境，引入课题； 3、通过探究活动，得到解决该类问题的通法； 4、通过例题及巩固练习，强化函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归 思想的自觉提炼与运用； 5、巩固总结回顾本节课的思想方法；强调解决问题的关键； 6、课后作业。 四、教学过程 第一环节课前热身练习 如图1是函数y f x的导函数y 扩x的图象，则下面判断正确的有. 1在-1, 1内，yx是增函数；2在4, 5内，yx是增函数； ⑶当x 1时，y f x有极大值； ⑷当x4时，y /X有极小值. 第二环节 探究活动函数/ 3-321 思考1能不能画出函数的草图学生回答后，教师利用多媒体投影该函数图象如图2 思考2函数/有几个零点 思考3方程了31 3*2在区间, 2内有几个解 思考4函数了X x3 -3x2 aa e R有几个零点 探究活动函数/X x3 -3x2 aa e R的零点个数. 解易知该函数的定义域是R, fx 3x2 -6x 3xx-2 由fx 。得’工0或2 当x变化时，f\x , /Xx的变化情况如下表 X -oo,0 0 0,2 2 2,co fM 0 0 fx 7 a X a-4 7 因此函数/的极大值是/0 a ,极小值是/2 a 4. ① 当a0或。一4〉0,即a0或a〉4时，fx有一个零点； ② 当a 0或”一4 0,即a 0或a 4时，fx有两个零点； ③ 当a〉0且”一40,即0 a4时，/有三个零点. 思考探究函数fx -x3 3x2 aa e R的零点个数，方法相同吗 结论三次函数的极大值总大于其极小值。 第三环节例题选讲及巩固练习 例 1、已知函数/ 3 -3ax-l,a0 1 求fx的单调区间； 2 若/Xx在x -l处取得极值，直线y m与y fx的图象有三个不同的交点，求的 取值范围. 解1易知该函数的定义域是R, /,x 3x2-3a 3x2-a 由/30得，x -插或x 插 当x变化时，f\x, /Xx的变化情况如下表 X -co,-Va _ -\[u -7a, V 4a Vtz,o g 0 0 fx 7 / 故函数/x的单调递增区间是一oo,-J, J，,8； fx的单调递减区间是4a,4a. 2 ./■在x -l处取得极值，1 3-3。 0, 解得a l,此时，/x x3 -3x-l 直线y m与 fx的图象有三个不同的交点，等价于函数gx f{x-m有三个不同 的零点. gx x3 -3x-1 -m ,gx 3x2 -3 - 3x lx-l 由1知，gx的极大值为g-1 1 一所，极小值为gl -3 - m 要使直线y m与y fx的图象有三个不同的交点， w十1 一 m 0,、 则需,即一3ml,故〃的取值范围为3,1. [gx极小3 m0 点评研究函数图象与直线交点问题时，常将问题转化为函数的零点问题，通过研究函数的 单调性，函数的极值，甚至最值闭区间等问题，利用数形结合的思想，使问题得以解决. 巩固练习1已知函数/x x3 -x2 -xa的图象与x轴仅有一个交点，求实数。的取值 范围. 解/V-3x2 -2x-l-3x lx-l 由 fx 0得，x -|x l 当了变化时，f3, fx的变化情况如下表 X F，3 1 3 T』 1 l,oo 0 0 fx / 5 F Cl 27 Q 1 / 故函数fx的极大值是/-- 。，极小值是/I a l. 要使函数jfx 3 - x2 -x a的图象与x轴仅有一个交点， 则需f⑴极大 。0或/⑴极小。10， 解得a -号或a 1,故实数。的取值范围为W]ul,o. 例 2、已知函数 /x -2 8 , gx 61nx m. 问是否存在实数m，使得y fx的图象与y gx的图象有且只有三个不同的交点 若存在，出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解设 /ix gx-fx，则 h{x - x2 - 8x 61n x 771 x 0 函数/x的图象与gx的图象有且只有三个不同的交点， 等价于函数/zx的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点. hx 2x-8 - 2xTa 3,由入,顷。得工】或工3 XX 当x变化时，hx, /zx的变化情况如下表 X 0,1 1 1,3 3 3