《函数的概念习题课》示范课教学设计【高中数学人教版】
《函数的概念及其表示习题课》教学设计 ♦教学目标 1. 复习函数的概念以及构成函数的要素,能求简单函数的定义域;在实际情境中,会 根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;能用分段函数正 确表示一些相关的函数问题,构建函数性质的概念及其表示的知识结构. 2. 能应用函数与方程、化归与转化、数形结合、分类与整合的思想进行抽象概括、运 算求解,提升数学抽象、直观想象和数学运算素养. ♦教学重难点 教学重点:理解函数的概念,结合实际问题选择恰当的方法表示函数,掌握分段函数的 表示及其图象. 教学难点:在具体的问题中,如何抓住条件,解决问题. ♦课前准备 用软件制作动画;PPT课件. ♦教学过程 一、复习导入 问题1:请同学们浏览第3.1节(课本P60-P71)的内容,你能梳理一下本小节的学习 过程吗? 师生活动:学生先独立阅读思考,老师根据学生的回答补充. 预设的答案:答案如图1. 初时斤号顼: 际背景 I函数的概念 函数的表示 •解析法 •图象法 分段函数 设计意图:引导学生梳理学习内容,构建函数的概念及其表示的知识结构. 引语:函数是贯穿高中数学课程的主线,这节课我们一起来夯实与之相关的基本概 念.(板书:函数的概念及其表示习题课) 二、新知探究 1. 函数的概念及其构成要素 例1 (习题3. 1 P72第1题) 求下列函数的定义域: (1) /(x) =土; J x—4 (2) /(x) =V?; ⑶处)=/一»+2; (4) /(x)• 师生活动:老师先引导学生回忆求定义域的一般步骤,然后学生独立完成,老师点评. 追问:求解函数定义域的一般步骤是什么?(第一步:根据解析式有意义转化成不等式; 第二步:解不等式或不等式组求得原来函数的定义域.) 预设的答案: (1) 要使该函数有意义,则需x—4N0. 解得:xN4. 所以函数f(x)的定义域为(一8, 4) U(4, +°°). (2) 要使该函数有意义,则需/NO. 解得:xGR. 所以函数/W的定义域为R. (3) 要使该函数有意义,则需x-~3x+2^0. 解得:xNl且xN2. 所以函数f(x)的定义域为{x|x# 1且灯2}. [4一A J^O (4) 要使该函数有意义,则需一 . [了一1 尹0 解得: [•X 尹 1 所以函数f(x)的定义域为(一8, 1) U(l, 4]. 设计意图:例1借助求解函数的定义域,加深学生对函数概念的理解,训练学生运用函 数与方程的思想进行运算求解的能力. 例2 (习题3.1 P72第2题) 下列哪一组中的函数/(x)与g(x)是同一个函数? (1 ) /(X)=X— 1, g (,v) =Y — 1; (2) f(x) =.r, g (,v) =5)4; (3) /(x) =.r, g (x) = V?. 追问:判断两个函数是否相等的一般的步骤是什么?(第一步,求两个函数的定义域.第 二步,判断定义域是否相同.若否,则不是相等函数,结束判断;若是,则进行第三步.第 三步,化简两个函数的解析式,若解析式也相同,则为相等函数;若解析式不相同,则不是 相等函数.) 师生活动:老师先引导学生回忆判断函数是否相等的一般步骤,然后学生独立完成,老 师点评. 预设的答案:第(3)组中,二者的定义域均为R,且沂=/,因此解析式也相同,所 以/(X)=.r与g (,v)=沂是同一个函数. 第(1)组中,7“(x)=x—l的定义域为R, g(x)==—1的定义域为bdx/O},定义域不 同,所以不是同一个函数. 第(2)组中,/(x) =x2的定义域为R, g(x)=5)4的定义域为{x|xNO},定义域不同, 所以不是同一个函数. 设计意图:例2借助判断函数是否相等,加深学生对函数概念的理解,训练学生运用化 归与转化的思想进行运算求解的能力. 例3 (习题3. 1P74第16题) 给定数集A=R, 3=(—8, o],方程u2+2v=0,① (1) 任给uEA,对应关系f使方程①的解v与“对应,判断v=/(m)是否为函数并说 明理由; (2) 任给vWB,对应关系g使方程①的解v与“对应,判断u=gM是否为函数并说 明理由. 追问1:判断某个给定的对应关系是否函数的依据是什么?(函数的概念,具体内容是: 对于数集A中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数 y和它对应,那么就称f:为从集合A到集合B的一个函数.) 师生活动:老师引导学生寻找判断的依据,学生应用函数的概念独立判断,老师点评. 2? itit 预设答案:(1)根据“2+2v=0,可得V=—万,任给〃仁A,根据对应关系u=一万,在 一I? 数集B中都能找到唯一的兀素v=—y与之对应,所以是函数. (2)根据w2+2v=0,可得u= ±y[~2v,任给v^B且vt^O,根据对应关系u= ±y[~2v, 在数集A中都能找到两个元素u=±yplv与之对应,所以不是函数. 追问2:结合v=f(u)和w=g(v)的图象验证你的判断,其中v=f(u)和w=g(v)的图象 分别如图2和图3. (根据图4,在横轴上任取一点u = u0,过该点作横轴的垂线,与曲线有且仅有一个交 点(“o,W),即对于任意的“oGR,按照对应关系①有唯一的w与之对应,所以v=y(G是 函数.根据图5,在横轴负半轴上任取一点v=vo,过该点作横轴的垂线,与曲线有两个交 点(比,“0)、(W,—“0),即对于任意的voe ( —°°> 0),按照对应关系①有两个值与之对 应,所以” = g(v)不是函数.) 追问3:根据方程“2+2v=0,写出一个对应关系/i使它成为“关于v的函数.(〃=一寸5 或 u=y[~2v.) 设计意图:通过例3对函数概念进彳亍辨析,帮助学生深入理解函数的概念,感受函数对 应关系的多样性. 2. 求函数的解析式 例4(1)已知/ (x)是二次函数,且满足/(0)= 1, /(x+1) —/(X)=2x,求/tr)的解析 式; (2) 已知/(x+1) =x2~3x+2,求/ (x); (3) 已知函数/ (x)对于任意的x都有/(%) +2/(—x) =3x—2,求f(x). 师生活动:第(1)小题大部分学生能比较顺利地完成,其它两个小题需要老师合理的 引导、讲解、示范以及学生的模仿练习完成. 预设答案: (1) 由/tx)是二次函数,设/(x) =a^+bx+c (。乂0), 由六0) = 1,得c— 1, 则 /(x+1) -/(x) =a(x~\~ l)2+/?(x+1)+ 1 — (ox2+fov+1) =2ax~\~a~\~b=2x 这个式子对于任意均成立,所以2(2=2, i+A=O,可得“=1, Z?= —1, 解析式为f(x) =/—x+1. (2) 方法一:令x+l=t,则 x-t~ 1. 将 x=t~ 1 代入 /(x+1) =/—3工+2,得 f(t) =(,一 1)2—