《函数的性质》案例分析
《函数的性质》案例分析 一、设计思想: 首先说明这次高三第一学期的一节复习课,因此,既要考虑对学生能力的培养,同时又要重 视基本方法的归纳,总结以及落实,函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念, 是数学中最重要的概念之一,它贯穿中学代数,对函数的有关概念,通过复习要使学生做到 准确、深刻地理解,能正确、灵活地加以运用。函数历来是数学高考中的重点考查内容,而 函数的性质又是函数中最重要内容。本节课在分别复习奇偶性、对称性、周期性的基础上, 对这些性质的综合运用。学生除了要掌握一些基本的方法以外,还要学会阅读数学语言,包 括文字语言、符号语言、图形语言。数学语言是我们数学地思考问题的方式,同时也要学会 从“语言”中获取信息,基于以上考虑,本节课通过对奇偶性、对称性、周期性的复习,使 学生熟悉三种语言的转化,同时掌握代换变换的方法,通过一道高考题的深入分析、拓展、 渗透轮归的思想,数形结合的思想,培养学生对有关函数性质的“数学语言”的深刻理解及 获取信息的能力。 二、课堂实录 星期二上午第三节高三(3)班教室 师:我们前面分别复习函数的奇偶性、对称性、周期性 (板书):函数y=f(x)是奇函性(文字语言) 提问:用数学符号如何表示?(学生回答) 函数的图象是有什么特点?(学生回答) 同样,画出一个关于x=l对称的函数图象,用文字语言如何表达?用符事情语言如何表述? 给出符号f(x+2)=f(x),用文字如何表达?函数的图象具有什么特点? T:(问题):f(x+2)=f(x),悟出什么? 学生齐答:函数f(x)的周期是2 T: f (x+2)=-f (x),又能悟出什么? (学生思考,议论纷纷,有些学生已找到答案) S2: y=f(x)以4为周期。 f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x) T:很好己知f (x)=-f(x+2),可以这样理解,对于一个x的值,加上2,函数值相反,再加 2,函数值又相反,就与f(x)相同了,(教师一边说,一边在黑板画图)。结合图形理解较 为直观,但是之前代数变换的方法也很重要。 (板书例题):设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当OWxWl时,f(x)=x,则f(7. 5) 等于? S3: f(7. 5)=f (5. 5+2)=-f (5. 5)=-[-f(3. 5)]=f (3. 5)=-f (1. 5)=f (-0. 5)=-f (0. 5)-0. 5 T:这种方法利用已知所给的条件,对f(x+2)=-f(x)看成关系式,通过对x赋值,代数变换, 得出结论。 S4:由 f(x+2)=-f(x)可得出 f (x+4) =f (x) f (7. 5) =-f (0. 5) =-0. 5 T:回答得很好。注意到了对所给符号语言的深刻理解,同时也希望同学们要掌握如何运用 周期性,y=f(x)周期为 Txl-x2=KT (KEZ)则 f (xl)=f(x2) T:我们再考虑题目的条件,还能获取哪些信息呢? (学生思考) T: y=f (x)是奇函数,因此,-f(x)=f(-x),这样 f(x+2)=f(-x) (这时,有一部分学生恍然大悟,看出了函数的对称性) y=f (x)关于x=l对称 (教师带领学生一起画出y=f(x)图像,借助图象观察f(7.5)=-0.5) 这种方法渗透数形结合的思想,由数一形一数的过程。 (板书例题):定义在R上的偶函数y=f(x)满足关系f (x+2)=-f(x),且f(x)在区间[-2, 0],上是增函数,那么有如下结论: (1) y=f(x)是周期函数 (2) y=f(x)的图象关于直线x=2对称 (3) y=f(x)在区间[2, 4]上是减函数 (4) f()=f () 学生先思考,可以互相讨论,再由学生分别回答,并说明理由。之后,教师对基本的代数变 换方法化归和数形结合的数学思想,再一次归纳并强调。 T:对于例1我们将问题变式:当xe[-i, 10]时,f(x)的解析式。 把未知范围转化为已知范围,再运用函数性质。 当 XG [-1, 10]时,-xG [0, 1]X)=—X=—f(x) f (x) =x 变式2:当-IWxWl时,f(x)的解板式?(在代数推理的基础上,同时结合图形观察) 变式3:当xe[3, 5]时,f(x)的解析式? 教师分析、强调化归的思想,将未知范围转化为已知的[-1, 1]范围内。 变式4:当xG [1, 3]时,f(x)的解析式? 教师引导学生小结。 (1) 学会读懂有关函数性质的三种语言,并转化。 (2) 掌握代数变换的方法。 (3) 体会数形结合,化归思想。 三、课后反思 对于高三的复习课,要重视运算基本功,复习要做到“低起点”“小跨度”落实基础。这节 课的设计思想是要落实基本方法,回顾整个教学过程,在例1不变式训练中,学生接受有一 定的困难,仍需强调、练习。另外,在复习f (a+x) =f (a-x)时,可以说明如a=0,即 f(O+x)=f(O-x), f(x)=x,因为y=f(x)以4为周期,表现出对周期及函数概念的理解准确、 深刻。教师能够结合图象分析,让学生认识到问题,及时点评。总之,在有些基本方法的落 实上,这需教师强调,再续习。