[精品]中考数学猜想性习题的解题策略
中考数学猜想性习题的解题策略 上海市平乐中学庄士忠 200540 初中数学新教材,有许多新的教学理念和思维方法,而猜想法就是其中一个突出亮点, 它渗透在许多新的数学体例之中,猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联 想、类比、归纳等,依据已有的材料和知识作出符合一定的推测性想象的思维方法。现在 结合一些具体例子,就如何解决猜想新题型的若干策略予以归纳总结。 一、探索性猜想 是指依据已有的知识和结果,经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性 猜想。 例1过等腰AABC底边BC和BC延长线上一点P向两条腰做垂线段PE、PF, CM 为AB腰上的高,如图1与图2,通过测量并计算PE、PF的和与差,再与CM比较大小。 (1) 观察和与差的变化情况,能得出什么结论? (2) 当P在直线BC上移动其他条件不变,上述结论还成立吗? 分析与点评:通过学生亲手实践,发现和与差都与腰上的高相等,再让学生多次尝试, 由静态到动态,再探索出它们的结论是一致的。这样,引导学生进行尝试、观察、猜想, 再进行变换创新,激发学生的探索热情和创造思维。 对应训练:任意画一个四边形ABCD,各边中点为E、F、G、H,连接EF、CH、 HE,如图3 图3 (1) 分别量出EF、FG、GH、HE的长,你发现什么? (2) 分别量出Zl, Z2, Z3, Z4的度数,你又发现什么? (再画几个四边形试试,你能得到什么猜想?) 二、归纳性猜想 是指运用不完全归纳法对研究的问题个例、特例进行观察、分析,从中得到有关命题 的形式、结论或方法的猜想。 例2计算3的正整数次幕: 3】=332 =93,=2734 =81 3^=24336 =7293, =218738 =6561 归纳各计算结果中的个位数字的规律,可得32°°3的个位数字为多少? 分析与点评:通过计算结果发现3的正整数次幕的个位数字有每4次一个循环的规律, 并且3 2003 = 3500 x4+3 ,因此了必的个位数字为7o本例以旧引新,从具体到抽象,从单一 到开放,使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握猜想的数学思想。 对应训练观察等式并填空: I3 =12,13 + 23 =32,13 + 23 + 33 =62 I3 + 23 +33 +43 = 想一想,等式左边各项幕的底数与右边幕的底数有什么关系?猜一猜,可以引出什么 规律,并按此规律计算:F + 23 +33 +43 +. + I13 三、类比性猜想 是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想。 例3在计算1 + 3 + 32--- + 3100的值时,可设 S = l + 3 + 32 +--- + 3100① 则 3S = 3 + 32 +33 + ■•• + 3100 +3101② 3101 -1 ②一①得 2S=3101 —1 .I S = 2 试利用上述方法求1 + 8 + 82+••• + 8 2006的值 并求一般地 1 + X + X2 +••• + Xn(X^l)的值 3101 -1 分析与点评:从计算结果S=——中不难发现,所求得的和等于数列中末项与首项 2 o 2006 _ 1X” _ 1 的差的一半,因此,需求的结果分别为一 和圣二L本例运用类比方法,能激发 22 学生参与研究、发现规律的兴趣。在数学教学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的 重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要方法。 对应训练 计算 7778 X 9999+3333 X 6666 解:原式=7778 X 9999+9999 X 2222 =9999X (7778+2222) =9999X10000=99990000 仿照上面的方法计算: (1) 99999 X 22222+33333 X 33334 (2) 2002X20012001-2001X20022002 四、试验性猜想 是指用试验法研究问题,每次试验都能给人们提供一种信息,进而得出相应的猜想。 例4已知x2 -3x + l = 0试猜想确定x2n +-^~ (n为正整数)的个位数字。 x2n 分析与点评:显然x尹0,故有x + —= 3 , X 特殊地 当 n=l 时,x2+二= (x + L)2—2 = 3? - 2 = 7 XX 当 n=2 时,X,+二=(乂2+马2—2 = 7? _2 = 47 X4X2 当 n=3 时,x8 +4r = (x4 +^-)2 一2 = 47? —2 = 2207 x8x4 据此,可作猜想:对于任意正整数n, x2n +-^-的个位数字可能都是7。试验法体 x2n 现了从特殊到一般,再从一般到特殊的重要数学思想,这有利于学生养成从特殊事例引发 一般规律的思想方法。 a2 h2 c- 对应训练已知:abcNO且a+b+c=O,则代数式—+ —+ —的值是定值,还是不 be ca ab 定值?如果是定值请求出。(2004年第二十一届全国初中数学联赛试题改编) 提示:特取符合条件的值如a=l, b=l, c=-2代入试验,即可猜想它是定值且为2。 五、构造性猜想 是指依据数学问题的相似“模式”,利用模型构造法作出相应数学规律或方法的猜想。 例5观察下列等式 (a + b)°=l (ab 0) (a + b)2 =a2 +2ab + b2 (a + b)3 =a3 +3a2b + 3ab2 +b3 你能发现上述展开式有什么规律?能写出(a + b)10的展开式吗? 分析与点评:如果只靠想象,很难发现展开式各项之间存在什么规律,但是通过将展 开式的系数构造成一个模型,如图4,就不难发现它们的系数有内在联系,即从2起每个 数都为它上面两数之和,因此就不难写出(a + b)10的展开式了。 图4 (a + 6)° (a + b)1 (a+6)2 (a + b)3 (a +* 本例通过巧妙构造模型,唤起学生学习数学的好奇心和兴趣,继而探索数学的奥秘, 同时也使学生感受到数学的对称美、谐和美。解题中应用模型思想有利于培养与发展学生 整体处理和创造性处理问题的能力。 对应训练通过构造一个模型并利用模型特征性计算下式: 11111 1 — + — + - + 一 + 一 + .•. + 2 4 8 16 324096 提示:把-个面积如的正方形等分成两个面积为捉长方形,再把其中-个长方形 等分成两个面积为把长方形,如此进行下去,如图5,则可以利用图形提示的规律来计 算上题。 由上述可见,猜想不仅是新颖的数学思维方法,更是培养学生探索精神,提高学生创 新能力的最佳途径。