[精品]中考数学猜想性习题的解题策略

中考数学猜想性习题的解题策略 上海市平乐中学庄士忠 200540 初中数学新教材，有许多新的教学理念和思维方法，而猜想法就是其中一个突出亮点， 它渗透在许多新的数学体例之中，猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联 想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的推测性想象的思维方法。现在 结合一些具体例子，就如何解决猜想新题型的若干策略予以归纳总结。 一、探索性猜想 是指依据已有的知识和结果，经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性 猜想。 例1过等腰AABC底边BC和BC延长线上一点P向两条腰做垂线段PE、PF, CM 为AB腰上的高，如图1与图2,通过测量并计算PE、PF的和与差，再与CM比较大小。 1 观察和与差的变化情况，能得出什么结论 2 当P在直线BC上移动其他条件不变，上述结论还成立吗 分析与点评通过学生亲手实践，发现和与差都与腰上的高相等，再让学生多次尝试, 由静态到动态，再探索出它们的结论是一致的。这样，引导学生进行尝试、观察、猜想, 再进行变换创新，激发学生的探索热情和创造思维。 对应训练任意画一个四边形ABCD,各边中点为E、F、G、H,连接EF、CH、 HE,如图3 图3 1 分别量出EF、FG、GH、HE的长，你发现什么 2 分别量出Zl, Z2, Z3, Z4的度数，你又发现什么 再画几个四边形试试，你能得到什么猜想 二、归纳性猜想 是指运用不完全归纳法对研究的问题个例、特例进行观察、分析，从中得到有关命题 的形式、结论或方法的猜想。 例2计算3的正整数次幕 3】332 93，2734 81 324336 7293, 218738 6561 归纳各计算结果中的个位数字的规律，可得323的个位数字为多少 分析与点评通过计算结果发现3的正整数次幕的个位数字有每4次一个循环的规律, 并且3 2003 3500 x43 ,因此了必的个位数字为7o本例以旧引新，从具体到抽象，从单一 到开放，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握猜想的数学思想。 对应训练观察等式并填空 I3 12,13 23 32,13 23 33 62 I3 23 33 43 想一想，等式左边各项幕的底数与右边幕的底数有什么关系猜一猜，可以引出什么 规律，并按此规律计算F 23 33 43 ... I13 三、类比性猜想 是指运用类比方法，通过比较两个问题的共同性，得出新命题或新方法的猜想。 例3在计算1 3 32--- 3100的值时，可设 S l 3 32 --- 3100① 则 3S 3 32 33 ■ 3100 3101② 3101 -1 ②一①得 2S3101 1 .I S 2 试利用上述方法求1 8 82 8 2006的值 并求一般地 1 X X2 XnXl的值 3101 -1 分析与点评从计算结果S中不难发现，所求得的和等于数列中末项与首项 2 o 2006 _ 1X” _ 1 的差的一半，因此，需求的结果分别为一 和圣二L本例运用类比方法，能激发 22 学生参与研究、发现规律的兴趣。在数学教学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的 重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要方法。 对应训练 计算 7778 X 99993333 X 6666 解原式7778 X 99999999 X 2222 9999X 77782222 9999X1000099990000 仿照上面的方法计算 1 99999 X 2222233333 X 33334 2 2002X20012001-2001X20022002 四、试验性猜想 是指用试验法研究问题，每次试验都能给人们提供一种信息，进而得出相应的猜想。 例4已知x2 -3x l 0试猜想确定x2n - n为正整数的个位数字。 x2n 分析与点评显然x尹0,故有x 3 , X 特殊地 当 nl 时，x2二 x L22 3 - 2 7 XX 当 n2 时，X，二乂2马22 7 _2 47 X4X2 当 n3 时，x8 4r x4 -2 一2 47 2 2207 x8x4 据此，可作猜想对于任意正整数n, x2n --的个位数字可能都是7。试验法体 x2n 现了从特殊到一般，再从一般到特殊的重要数学思想，这有利于学生养成从特殊事例引发 一般规律的思想方法。 a2 h2 c- 对应训练已知abcNO且abcO,则代数式 的值是定值，还是不 be ca ab 定值如果是定值请求出。2004年第二十一届全国初中数学联赛试题改编 提示特取符合条件的值如al, bl, c-2代入试验，即可猜想它是定值且为2。 五、构造性猜想 是指依据数学问题的相似“模式”，利用模型构造法作出相应数学规律或方法的猜想。 例5观察下列等式 a bl ab 0 a b2 a2 2ab b2 a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 你能发现上述展开式有什么规律能写出a b10的展开式吗 分析与点评如果只靠想象，很难发现展开式各项之间存在什么规律，但是通过将展 开式的系数构造成一个模型，如图4,就不难发现它们的系数有内在联系，即从2起每个 数都为它上面两数之和，因此就不难写出a b10的展开式了。 图4 a 6 a b1 a62 a b3 a * 本例通过巧妙构造模型，唤起学生学习数学的好奇心和兴趣，继而探索数学的奥秘， 同时也使学生感受到数学的对称美、谐和美。解题中应用模型思想有利于培养与发展学生 整体处理和创造性处理问题的能力。 对应训练通过构造一个模型并利用模型特征性计算下式 11111 1 - 一 一 .. 2 4 8 16 324096 提示把-个面积如的正方形等分成两个面积为捉长方形，再把其中-个长方形 等分成两个面积为把长方形，如此进行下去，如图5,则可以利用图形提示的规律来计 算上题。 由上述可见，猜想不仅是新颖的数学思维方法，更是培养学生探索精神，提高学生创 新能力的最佳途径。