中考数学解答题-专题04几何最值存在性问题

专题四专题四几何最值的存在性问题几何最值的存在性问题 【考题研究】【考题研究】 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分 题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给 了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 【解题攻略】【解题攻略】 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型： （（1 1）归于“两点之间）归于“两点之间 的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型． （（2 2）归于“三角）归于“三角 形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如（如 图图 1 1）） ．． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是 指出两条对称轴“反射镜面”指出两条对称轴“反射镜面” （如图（如图 2 2）） ．． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最 大值就是第三边的长．如图大值就是第三边的长．如图 3 3，，PAPA与与PBPB的差的最大值就是的差的最大值就是ABAB，此时点，此时点P P在在ABAB的延长线上，即的延长线上，即P P′．′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题． 【解题类型及其思路】【解题类型及其思路】 解决平面几何最值问题的常用的方法有：解决平面几何最值问题的常用的方法有： （（1 1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系））应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系） 求最值；求最值； （（2 2））应用垂线段最短的性质求最值；应用垂线段最短的性质求最值； （（3 3））应用轴对称的性质求最值；应用轴对称的性质求最值； （（4 4））应用二次函数求最值；应用二次函数求最值； （（5 5）） 应用其它知识求最值。应用其它知识求最值。 【典例指引】【典例指引】 第 1 页 共 88 页 类型一类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】 【典例指引【典例指引 1】】 （（2018·2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABCOABC 的顶点的顶点 A A、、C C 分别在分别在 x x 轴、轴、y y 轴的正半轴上．点轴的正半轴上．点 B B 的坐标为（的坐标为（8 8，，4 4）） ，将该长方形沿，将该长方形沿 OBOB 翻折，点翻折，点 A A 的对应点为点的对应点为点 D D，，ODOD 与与 BCBC 交于点交于点 E E．． （（I I）证明：）证明：EO=EBEO=EB；； （Ⅱ）点（Ⅱ）点 P P 是直线是直线 OBOB 上的任意一点，且上的任意一点，且△ △ OPCOPC 是等腰三角形，求满足条件的点是等腰三角形，求满足条件的点 P P 的坐标；的坐标； （Ⅲ）点（Ⅲ）点 MM 是是 OBOB 上任意一点，点上任意一点，点 N N 是是 OAOA 上任上任意一点，若存在这样的点意一点，若存在这样的点 MM、、N N，使得，使得 AM+MNAM+MN 最小，最小， 请直接写出这个最小值．请直接写出这个最小值． 【举一反三】 （（2020·2020·云南初三）如图，抛物线云南初三）如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3 经过点经过点 B B（﹣（﹣1 1，，0 0）） ，，C C（（2 2，，3 3）） ，抛物线与，抛物线与y y 轴的焦点轴的焦点 A A，与，与 x x 轴的另一个焦点为轴的另一个焦点为 D D，点，点 MM 为线段为线段 ADAD 上的一动点，设点上的一动点，设点 MM 的横坐标为的横坐标为 t t．． （（1 1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式； （（2 2）过点）过点 MM 作作 y y 轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点 P P，设线段，设线段 PMPM 的长为的长为 1 1，当，当 t t 为何值时，为何值时，1 1 的长最大，并求的长最大，并求 最大值；最大值； （先根据题目画图，再计算）（先根据题目画图，再计算） （（3 3）在（）在（2 2）的条件下，当）的条件下，当 t t 为何值时，为何值时，△ △ PADPAD的面积最大？并求最大值；的面积最大？并求最大值； （（4 4）在（）在（2 2）的条件下，是否存在点）的条件下，是否存在点 P P，使，使△ △ PADPAD为直角三角形？若存在，直接写出为直角三角形？若存在，直接写出 t t 的值；若不存在，的值；若不存在， 说明理由．说明理由． 类型二类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引典例指引 2】 第 2 页 共 88 页 （（2020·2020·重庆初三期末）重庆初三期末）如图，如图，抛物线抛物线y  ax2bx（（a  0））与双曲线与双曲线y  标标1,4，点，点B在第三象限内，且在第三象限内，且AOB的面积为的面积为 3 3（（O为坐标原点）为坐标原点）. . k 相交于点相交于点A、、B，，已知点已知点A坐坐 x （（1 1）求实数）求实数a、、b、、k的值；的值； （（2 2）在该抛物线的对称轴上是否存在点）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得使得POB为等腰三角形？若存在请求出所有的为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的