中考数学解答题-专题04几何最值存在性问题

专题四专题四几何最值的存在性问题几何最值的存在性问题 【考题研究】【考题研究】 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分 题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给 了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 【解题攻略】【解题攻略】 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型 （（1 1）归于“两点之间）归于“两点之间 的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型． （（2 2）归于“三角）归于“三角 形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如（如 图图 1 1）） ．． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是 指出两条对称轴“反射镜面”指出两条对称轴“反射镜面” （如图（如图 2 2）） ．． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最 大值就是第三边的长．如图大值就是第三边的长．如图 3 3，，PAPA与与PBPB的差的最大值就是的差的最大值就是ABAB，此时点，此时点P P在在ABAB的延长线上，即的延长线上，即P P′．′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题． 【解题类型及其思路】【解题类型及其思路】 解决平面几何最值问题的常用的方法有解决平面几何最值问题的常用的方法有 （（1 1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系））应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系） 求最值；求最值； （（2 2））应用垂线段最短的性质求最值；应用垂线段最短的性质求最值； （（3 3））应用轴对称的性质求最值；应用轴对称的性质求最值； （（4 4））应用二次函数求最值；应用二次函数求最值； （（5 5）） 应用其它知识求最值。应用其它知识求最值。 【典例指引】【典例指引】 第 1 页 共 88 页 类型一类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】 【典例指引【典例指引 1】】 （（20182018天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABCOABC 的顶点的顶点 A A、、C C 分别在分别在 x x 轴、轴、y y 轴的正半轴上．点轴的正半轴上．点 B B 的坐标为（的坐标为（8 8，，4 4）） ，将该长方形沿，将该长方形沿 OBOB 翻折，点翻折，点 A A 的对应点为点的对应点为点 D D，，ODOD 与与 BCBC 交于点交于点 E E．． （（I I）证明）证明EOEBEOEB；； （Ⅱ）点（Ⅱ）点 P P 是直线是直线 OBOB 上的任意一点，且上的任意一点，且△ △ OPCOPC 是等腰三角形，求满足条件的点是等腰三角形，求满足条件的点 P P 的坐标；的坐标； （Ⅲ）点（Ⅲ）点 MM 是是 OBOB 上任意一点，点上任意一点，点 N N 是是 OAOA 上任上任意一点，若存在这样的点意一点，若存在这样的点 MM、、N N，使得，使得 AMMNAMMN 最小，最小， 请直接写出这个最小值．请直接写出这个最小值． 【举一反三】 （（20202020云南初三）如图，抛物线云南初三）如图，抛物线yaxyax2 2bx3bx3 经过点经过点 B B（﹣（﹣1 1，，0 0）） ，，C C（（2 2，，3 3）） ，抛物线与，抛物线与y y 轴的焦点轴的焦点 A A，与，与 x x 轴的另一个焦点为轴的另一个焦点为 D D，点，点 MM 为线段为线段 ADAD 上的一动点，设点上的一动点，设点 MM 的横坐标为的横坐标为 t t．． （（1 1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式； （（2 2）过点）过点 MM 作作 y y 轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点 P P，设线段，设线段 PMPM 的长为的长为 1 1，当，当 t t 为何值时，为何值时，1 1 的长最大，并求的长最大，并求 最大值；最大值； （先根据题目画图，再计算）（先根据题目画图，再计算） （（3 3）在（）在（2 2）的条件下，当）的条件下，当 t t 为何值时，为何值时，△ △ PADPAD的面积最大并求最大值；的面积最大并求最大值； （（4 4）在（）在（2 2）的条件下，是否存在点）的条件下，是否存在点 P P，使，使△ △ PADPAD为直角三角形若存在，直接写出为直角三角形若存在，直接写出 t t 的值；若不存在，的值；若不存在， 说明理由．说明理由． 类型二类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】 【典例指引典例指引 2】 第 2 页 共 88 页 （（20202020重庆初三期末）重庆初三期末）如图，如图，抛物线抛物线y  ax2bx（（a  0））与双曲线与双曲线y  标标1,4，点，点B在第三象限内，且在第三象限内，且AOB的面积为的面积为 3 3（（O为坐标原点）为坐标原点）. . k 相交于点相交于点A、、B，，已知点已知点A坐坐 x （（1 1）求实数）求实数a、、b、、k的值；的值； （（2 2）在该抛物线的对称轴上是否存在点）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得使得POB为等腰三角形若存在请求出所有的为等腰三角形若存在请求出所有的P点的