求反函数练习

4 反函数·基础练习 (一)选择题 1．函数 y＝－x2(x≤0)的反函数是[ ] Ay(x0)By(x0) Cy(x0)Dy|x| ． ＝－≥． ＝≤ ． ＝－≤． ＝－ xx x   2．函数 y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是[ ] A．[0，＋∞) B．[－∞，1] C．(0，1] D．(－∞，0] 3y1(x2)．函数 ＝＋≥的反函数是x  2[ ] A．y＝2－(x－1)2(x≥2) B．y＝2＋(x－1)2(x≥2) C．y＝2－(x－1)2(x≥1) D．y＝2＋(x－1)2(x≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是[ ] Ayyx Byy 2． ＝和 ＝ ． ＝和 ＝ x xx 11 Cyy(x1) Dyx (x1)y(x0) 2 ． ＝和 ＝≠ ． ＝≥和 ＝≥ 31 31 31 1 x x x x x     5．如果 y＝f(x)的反函数是 y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ] A．若 y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则 y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数 B．若 y＝f(x)是奇函数，则 y＝f-1(x)也是奇函数 C．若 y＝f(x)是偶函数，则 y＝f-1(x)也是偶函数 D．若 f(x)的图像与 y 轴有交点，则 f-1(x)的图像与 y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线 y＝x 对称，而其中一个函数是 y＝－，那么另一个函数是x 1 [ ] A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1) 7．设点(a，b)在函数 y＝f(x)的图像上，那么 y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b)) 8．设函数 y＝f(x)的反函数是 y＝g(x)，则函数 y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x) C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x) 9．若 f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数 f-1(x)的草图是[ ] 10yg(x)．函数 ＝的反函数是，则 1 3 x [ ] A．g(2)＞g(－1)＞g(－3) B．g(2)＞g(－3)＞g(－1) C．g(－1)＞g(－3)＞g(2) D．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题 1y3 2y(x0)yf(x)yx ．函数 ＝ ＋的反函数是． ．函数 ＝＞与函数 ＝的图像关于直线 ＝ 对称， x x   2 1 21 解 f(x)＝________． 3．如果一次函数 y＝ax＋3 与 y＝4x－b 的图像关于直线 y＝x 对称，那 a＝________，b ＝________． 4y(1x0)．函数 ＝－ ＜ ＜的反函数是，反函数的定9 2 x 义域是________． 5． 已知函数 y＝f(x)存在反函数， a 是它的定义域内的任意一个值， 则 f-1(f(a))＝________． 6y 7y (x1) (x1) 8f(x)(x1)f() 1 ．函数 ＝的反函数的值域是． ．函数 ＝ ≥ －＜ 的反函数是：． ．函数＝＜－，则－＝． 1 2 1 1 2 1 2 3 2 x x x x           (三)解答题 1y1 2f(x) ．求函数 ＝＋ 的反函数，并作出反函数的图像． ．已知函数＝． x ax x    2 5 2 (1)求函数 y＝f(x)的反函数 y＝f-1(x)的值域；(2)若点 P(1，2)是 y＝f-1(x)的图像上一点， 求函数 y＝f(x)的值域． 3． 已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数， 且存在反函数， 求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x) 在它的定义域内也是增函数． 4f(x)yg(x)yf(x1)．设函数＝，函数 ＝的图像是 ＝＋的图像 23 1 1 x x    关于 y＝x 对称，求 g(2)的值． 参考答案 (一)选择题 1．(C)．解：函数 y=－x2(x≤0)的值域是 y≤0，由 y=－x2得 x= － － ，∴反函数－ －≤．yxf(x) =(x0) 1 2．(D)．解：∵y=－x2－2x=－(x＋1)2，x≥0，∴函数值域 y≤0，即其反函数的定义域 为 x≤0． 3(D)y=x21x2y1y=x2．．解：∵－ ＋ ， ≥ ，∴函数值域 ≥ ，由－ ＋1，得反函数 f－1(x)=(x－1)2＋1，(x≥1)． 4．(B)．解：(A)错．∵y=x2没有反函数．(B)中如两个函数互为反 函数．中函数 ＋ － ≠的反函数是 ＋ － ≠而不是 ＋ － ．中函数≥的值域为 ≥ ．应是其反函数的定义域 ≥ ．但中的定义域 ≥ ，故中两函数不是互为反函数． (C)y = 3x1 x (x1)y = x1 x3 (x3)y = 3x1 3x1 (D)y = x (x1)y1x 1y =xx0(D) 2 1 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数 y=f-1(x)在[f(1)，f(2)]上是 增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如 y=f(x)=x2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数 f(x)=x2＋1(x≥0)的图像与 y 轴有 交点，但其反函数－≥ 的图像与 轴没有交点．∴错．f - (x) =x1(x1)y(D) 1 6(A)y =y0f(x) = x 12．．解：∵函数－－ 的值域 ≤ ；其反函数＋x1 ＋1(x≤0)．选(A)． 7．(D)．解：∵点(a，b)在函数 y=f(x)的图像上，∴点(b，a)必在其反函数 y=f-1(x)的图像 上，而 a=f-1(b)，故点(b，f－1(b))在 y=f-1(x)的图像上．选(D)． 8． (B)． 解： ∵y=f(x)的反函数是 y=f-1(x)即 g(x)=f-1(x)， 而 y=f(－x)的反函数是 y=－f-1(x)= －g(x)，∴选(B)． 9．(C)．解：令 t=x－1．∵x≤1，∴t≤0，f(t)=t2＋2(t≤0)，即 f(x)=x2＋2(x≤0)，值域为 f(x)≥2，∴反函数 f-1(x)的定义域是 x≥2，值域 y≤0，故选(C)． 10(B)g(x) = 1 x (0)3 3 ．．解：∵在 －∞，上是减函数，又－ ＜－ ＜1 00g(3)g(1)g(2) = 1 2 0g(2)g(3)g(1) 3 ，∴ ＞－＞－而＞ ，∴＞－＞－．故选 (B)． (二)填空题 1y = 3y3y = x6x 2．解：∵函数＋＋ 的值域 ≥ ，其反函数－＋x27( x≥3) 2y = 1 2x1 (x0)y1f(x) = 1x 2x (x1)．解： ＋ ＞的值域 ＜ ，其反函数 － ＜． 3y = 4xby = 1 4 xx= ax．解：函数－ 的反函数是＋，则＋＋ ， bb 4 1 44 3 比较两边对应项系数得，．a = 1 4 b =12 4y