一阶常微分方程解法总结

范文 范例 指导参考 第第一一章章一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 dy  f (x)g(y) dx 当g(y)  0时，得到 dy  f (x)dx，两边积分即可得到结果； g(y) 当g(0)  0时，则y(x) 0也是方程的解。 例 1.1、 dy  xy dx x2dy C xdx，两边积分得到ln y  解：当y  0时，有 2y 所以y  C1e x2 2 (C为常数) (C 1为非零常数且C1  eC) y  0显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为y  C1e x2 2(C 1为常数) ②、形如M(x)N(y)dx  P(x)Q(y)dy  0 当P(x)N(y)  0时，可有 M(x)Q(y) dx dy，两边积分可得结果； P(x)N(y) 当N(y0)  0时，y  y0为原方程的解，当P(x0）  0时，x  x0为原方程的解。 例 1.2、x(y 1)dx y(x 1)dy  0 解：当(x21)(y21)  0时，有 22 yx dy dx两边积分得到 1 y2x21 ln x21  ln y21  lnC 22 (C  0)，所以有(x21)(y21)  C(C  0)； 当(x 1)(y 1)  0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x 1)(y 1)  C ⑵可化为变量可分离方程的方程： 22(C为常数)。 dyy  g( ) dxx ydu u  g(u)为变量可分离方程，得到 解法：令u ，则dy  xdu udx，代入得到x xdx ①、形如 word 版 整理 范文 范例 指导参考 y f (u,x,C)  0(C为常数)再把u代入得到f (,x,C)  0(C为常数)。 x dy  G(ax by),(ab  0) ②、形如 dx adx  du1 dua  G(u)为变量可分离方程， 解法：令u  ax by，则dy ，代入得到 bb dxb 得到f (u,x,C)  0(C为常数)再把u代入得到f (axby,x,C)  0(C为常数)。 ③、形如 dya x b 1 y c 1 f (1) dxa 2 x b 2 y c 2 a 1 a 2 b 1 b 2  0，转化为 dy  G(ax by)，下同①； dx 解法：1、 0 20、 a 1 a 2 u  x  x 0 a x b 1 y c 1  0  0， 1 的解为(x0, y0)，令 b 2 v  y  y0a2xb2y c2  0 b 1 v dva u b 1v u )  g( v )，下同②； 得到， f ( 1)  f ( v dua 2u b2v u a 2 b 2 u a 1 b 1 还有几类：yf (xy)dx  xg(xy)dy  0,u  xy x2 dydyyy  f (xy),v  xy xf ( 2 ),w  2dxdxxx M(x, y)(xdx  ydy) N(x, y)(xdy  ydx)  0,x  r cos, y  r sin 以上都可以化为变量可分离方程。 例 2.1、 dyx  y 5  dxx  y 2 duu  7  ，有udu  7dx dxu 解：令u  x  y  2，则dy  dx  du，代入得到1 u2  7x C 所以 2 例 2.2、 2（x  y  2） (C为常数)，把u代入得到 7x  C 2 (C为常数)。 dy2x  y 1  dxx  2y 1 11 x  u  x  2x  y 1 0dy  dv 33 解：由得到，令，有，代入得到 11 x 2y 1 0dx  du   y  v  y  33 word 版 整理 范文 范例 指导参考 v dv2u v u ，令t  v ，有dv  tdu  udt，代入得到t u dt  2t ，化简 du1 2tuduu 2v 12 v u 2 ln(1t t2)du12td(1t t2) n u  C 得到，， 有ldt   222u22t  2t2(1t t ) 所以有u  (C为常数)， C 1 1t t2 ， (C 1  eC)，故代入得到x  1  3 C 1 1 1   y   3  3  1 1  1  x  x  33  y  2 ,(C 1  0) （3） 、一阶线性微分方程： （ 一般形式：a1 x) 标准形式： dy  a 0 (x)y  h(x) dx dy  P(x)y  Q(x) dx 解法：1、直接带公式：  P(x)dx P(x)dxP(x)dxQ(x)dx  eP(x)dx( eP(x)dxQ(x)dx C) y  Ce  e  e 2、积分因子法： y(x)  P(x)dx 1 [(x)Q(x)dx C]，(x)  e (x) 3、IVP：  dy  P(x)y  Q(x)，y(x 0 )  y 0 dx y  e  x0 x P(s)ds (Q(t)e x0 x x0 x P(s)dsdt  y 0 )  y 0e  x0 t P(s)dsP(s)ds Q(t)e x0dt x x0 t dy  ny  ex(x 1)n1 dx dynn y  ex(x 1)n，则P(x)  ,Q(x)  ex(x 1)n; 解：化简方程为： dxx 1x 1 例 3、(x 1) 代入公式得到(x)  e P(x)dx  e  x1dx n  (x1)-n (C为常数) nnxnnx 所以，y(x)  (x 1) [ (x 1) e (x 1) dx  C]  (x 1) (e  C) (4)、恰当方程： 形如M(x, y)dx  N(x, y)dy  0,G(x, y),s.t.dG  M(x, y)dx  N(x, y)dy 解法：先判断是否是恰当方程： 如果有 M(x, y)N(x, y)  恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 yx word 版 整理 范文 范例 指导参考 G(x, y),s.t G(x, y)G(x, y)  M(X, y), N(x, y), xy 有G(x, y)  C,(C为常数)； 例 4、(3x26xy2)dx (6x2y  4y3)dy  0 解：由题意得到，M(x, y)  3x26xy2,N(x, y)  6x2y  4y3 由 MN 得到，原方程是一个恰当方程；12xy  yx G(x, y)G(x