一阶常微分方程解法总结

范文 范例 指导参考 第第一一章章一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程 ①、形如 dy  f xgy dx 当gy  0时，得到 dy  f xdx，两边积分即可得到结果； gy 当g0  0时，则yx 0也是方程的解。 例 1.1、 dy  xy dx x2dy C xdx，两边积分得到ln y  解当y  0时，有 2y 所以y  C1e x2 2 C为常数 C 1为非零常数且C1  eC y  0显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为y  C1e x2 2C 1为常数 ②、形如MxNydx  PxQydy  0 当PxNy  0时，可有 MxQy dx dy，两边积分可得结果； PxNy 当Ny0  0时，y  y0为原方程的解，当Px0）  0时，x  x0为原方程的解。 例 1.2、xy 1dx yx 1dy  0 解当x21y21  0时，有 22 yx dy dx两边积分得到 1 y2x21 ln x21  ln y21  lnC 22 C  0，所以有x21y21  CC  0； 当x 1y 1  0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为x 1y 1  C ⑵可化为变量可分离方程的方程 22C为常数。 dyy  g dxx ydu u  gu为变量可分离方程，得到 解法令u ，则dy  xdu udx，代入得到x xdx ①、形如 word 版 整理 范文 范例 指导参考 y f u,x,C  0C为常数再把u代入得到f ,x,C  0C为常数。 x dy  Gax by,ab  0 ②、形如 dx adx  du1 dua  Gu为变量可分离方程， 解法令u  ax by，则dy ，代入得到 bb dxb 得到f u,x,C  0C为常数再把u代入得到f axby,x,C  0C为常数。 ③、形如 dya x b 1 y c 1 f 1 dxa 2 x b 2 y c 2 a 1 a 2 b 1 b 2  0，转化为 dy  Gax by，下同①； dx 解法1、 0 20、 a 1 a 2 u  x  x 0 a x b 1 y c 1  0  0， 1 的解为x0, y0，令 b 2 v  y  y0a2xb2y c2  0 b 1 v dva u b 1v u  g v ，下同②； 得到， f 1  f v dua 2u b2v u a 2 b 2 u a 1 b 1 还有几类yf xydx  xgxydy  0,u  xy x2 dydyyy  f xy,v  xy xf 2 ,w  2dxdxxx Mx, yxdx  ydy Nx, yxdy  ydx  0,x  r cos, y  r sin 以上都可以化为变量可分离方程。 例 2.1、 dyx  y 5  dxx  y 2 duu  7  ，有udu  7dx dxu 解令u  x  y  2，则dy  dx  du，代入得到1 u2  7x C 所以 2 例 2.2、 2（x  y  2） C为常数，把u代入得到 7x  C 2 C为常数。 dy2x  y 1  dxx  2y 1 11 x  u  x  2x  y 1 0dy  dv 33 解由得到，令，有，代入得到 11 x 2y 1 0dx  du   y  v  y  33 word 版 整理 范文 范例 指导参考 v dv2u v u ，令t  v ，有dv  tdu  udt，代入得到t u dt  2t ，化简 du1 2tuduu 2v 12 v u 2 ln1t t2du12td1t t2 n u  C 得到，， 有ldt   222u22t  2t21t t 所以有u  C为常数， C 1 1t t2 ， C 1  eC，故代入得到x  1  3 C 1 1 1   y   3  3  1 1  1  x  x  33  y  2 ,C 1  0 （3） 、一阶线性微分方程 （ 一般形式a1 x 标准形式 dy  a 0 xy  hx dx dy  Pxy  Qx dx 解法1、直接带公式  Pxdx PxdxPxdxQxdx  ePxdx ePxdxQxdx C y  Ce  e  e 2、积分因子法 yx  Pxdx 1 [xQxdx C]，x  e x 3、IVP  dy  Pxy  Qx，yx 0  y 0 dx y  e  x0 x Psds Qte x0 x x0 x Psdsdt  y 0  y 0e  x0 t PsdsPsds Qte x0dt x x0 t dy  ny  exx 1n1 dx dynn y  exx 1n，则Px  ,Qx  exx 1n; 解化简方程为 dxx 1x 1 例 3、x 1 代入公式得到x  e Pxdx  e  x1dx n  x1-n C为常数 nnxnnx 所以，yx  x 1 [ x 1 e x 1 dx  C]  x 1 e  C 4、恰当方程 形如Mx, ydx  Nx, ydy  0,Gx, y,s.t.dG  Mx, ydx  Nx, ydy 解法先判断是否是恰当方程 如果有 Mx, yNx, y  恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 yx word 版 整理 范文 范例 指导参考 Gx, y,s.t Gx, yGx, y  MX, y, Nx, y, xy 有Gx, y  C,C为常数； 例 4、3x26xy2dx 6x2y  4y3dy  0 解由题意得到，Mx, y  3x26xy2,Nx, y  6x2y  4y3 由 MN 得到，原方程是一个恰当方程；12xy  yx Gx, yGx