最优化理论-教学大纲

- 1 - 《最优化理论》教学大纲 课程编号：112302A 课程类型：专业选修课 总学时：32 讲课学时：26 实验学时：6 学 分：2 适用对象：金融工程专业 先修课程：数学分析、线性代数、经济学、金融学 一、教学目标 最优化问题即在有限种或无限种可行方案（决策）中选择最优的方案（决策）， 与之相对应的最优化理论是数学领域的一个重要分支，也是金融工程专业学生需要 掌握的必备工具之一。 现代金融学研究的技术化程度日益增加，金融工程的许多问题都与最优化理论 与方法密切相关，例如：投资组合选择与资产配置、期权的定价与对冲、金融风险 的度量与管理、资产和负债的现金流管理等等。本课程拟对最优化的基础理论和求 解方法进行一个比较全面和系统的介绍，其中涉及到的方法包括：线性规划、非线 性规划、二次规划、锥优化、整数规划、动态规划、随机规划等等。 通过本课程的学习，实现以下几个教学目标： 目标 1：帮助学生了解各类最优化模型的数学理论与求解方法； 目标 2：使学生理解如何应用这些优化模型分析经济学和金融学相关问题。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系 本课程主要介绍几种主要的最优化模型的理论与方法，根据最优化模型的类别 - 2 - 进行划分，分为无约束最优化和有约束最优化两大类别。其中，无约束最优化问题 的子类别较少、难度相对较低，主要从理论方法和数值方法两方面进行讲解；有约 束最优化重点讲解线性规划的单纯形法和非线性规划的库恩塔克条件，在时间允许 的情况适当介绍其他类别的高级规划课题。基本教学内容的框架图如下： 本课以课堂讲授为主，间之以案例教学、随堂练习和课后作业，针对适当的问 题讲解其计算机程序实现，使学生既能掌握理论，也能动手操作，切实做到理论与 实践相结合。 该课程旨在进一步完善金融工程专业学生的数理知识，一方面有利于强化与完 善了金融专业学生的数理知识体系，同时结合经济学和金融学实际问题进行讲解学 习，锻炼了学生们思考学习的能力，更训练了学生应用数理思维分析经济金融问题 的能力，与金融工程专业学生的毕业要求相呼应。 三、各教学环节学时分配 教学课时分配 最优化理论 无约束最优 化 理论方法 一阶必要条 件 二阶充分条 件 凸函数理论 数值方法 最速下降法 牛顿迭代法 共轭梯度法 有约束最优 化 线性规划 单纯形法 对偶理论 灵敏度分析 非线性规划 拉格朗日条 件 库恩塔克条 件 罚函数法 其他规划 整数规划 动态规划 随机规划 - 3 - 章节内容?讲课? ?实验?其它?合计? 第一章? 数学基础?4? ? ? 4? 第二章? 无约束最优化?6?2? ? 8? 第三章? 线性规划?6?2? ? 8? 第四章? 非线性规划?6?2? ? 8? 第五章? 其他规划?2? ? ? 2? 第六章? 应用专题?2? ? ? 2? 合计 32 32 四、教学内容 第一章 数学基础 第一节 最优化问题 第二节 线性代数知识 第三节 多元函数分析 第四节 凸集与凸函数 教学的重点、难点：最优化模型的一般形式；正定或半正定矩阵的判定；多元 函数的求导法则；梯度和Hesse 矩阵的概念；凸集和凸函数的判定。 教学的考核要求：掌握最优化模型的一般形式；掌握正定或半正定矩阵的判定 准则；理解梯度和Hesse 矩阵的概念；理解凸集与凸函数的定义。 第二章 无约束最优化 第一节 最优性条件 第二节 最速下降法 第三节 牛顿迭代法 第四节 共轭梯度法 教学的重点、难点：无约束最优化问题的一阶必要条件和二阶充分条件；无约 束凸优化问题的求解；最速下降法、牛顿迭代法和共轭梯度法的计算。 - 4 - 教学的考核要求：掌握无约束最优化问题的一阶必要条件和二阶充分条件；掌 握无约束凸优化问题的求解方法； 理解最速下降法、 牛顿迭代法和共轭梯度法原理。 第三章 线性规划 第一节 LP 问题的基本性质 第二节 单纯形法 第三节 对偶理论 第四节 灵敏度分析 教学的重点、难点：线性规划的标准型转化；可行解、基本解和最优解之间的 关系；利用单纯形法求解线性规划问题；两阶段法和大 M 法；对偶理论和灵敏度分 析。 教学的考核要求：掌握问题的基本性质，掌握线性规划的标准型转化准则；能 够运用单纯形法求解线性规划问题；理解对偶理论，了解灵敏度分析。 第四章 非线性规划 第一节 拉格朗日方法 第二节 库恩塔克条件 第三节 凸规划的最优性条件 第四节 罚函数方法 教学的重点、难点：等式约束的拉格朗日方法；不等式约束的库恩塔克条件； 凸规划的最优性条件；外罚函数法和内罚函数法。 教学的考核要求：掌握拉格朗日算法的一般方法；理解库恩塔克条件；理解凸 规划的最优性条件；了解两种罚函数方法。 第五章 其他规划 第一节 整数规划 第二节 动态规划 第三节 随机规划 教学的重点、 难点： 整数规划的分支定界法； 动态规划的顺序递归和逆序递归； - 5 - 随机规划的理论和算法。 教学的考核要求：了解几种规划的基本特点，理解动态规划的递归算法，了解 随机规划的算法原理。 第六章 应用专题 第一节 经济均衡问题 第二节 投资组合问题 第三节 期权定价问题 第四节 风险管理问题 教学的重点、难点：经济均衡问题中的库恩塔克方法；投资组合问题中的二次 规划；期权定价问题中的线性规划；风险管理问题的随机规划。 教学的考核要求：理解经济均衡问题中的库恩塔克方法；掌握投资组合问题中 的二次规划的应用原理；了解期权定价及风险管理问题中规划问题的应用。 五、考核方式、成绩评定 由于本课程具有较高的理论难度，修读本课程前至少需要较好的掌握数学分析 和线性代数两门数学基础课，所以本课程的随堂练习和课后作业相对较多。学生须 课前复习和预习，认真完成随堂测验和课后作业，才能较好地掌握本门课程的相关 知识。 本课程结合平时成绩和期末成绩进行综合考核。平时成绩以出勤率、随堂测验 和课后作业作为考核标准，期末考试的形式为开卷考试，平时成绩占总成绩的30%， 期末成绩占总成绩的70%。 六、主要参考书及其他内容 [1]王燕军，梁治安． 《最优化基础理论与方法》 ，复旦大学出版社，2011 年 3 月. [2]陈宝林． 《最优化理论与算法》 ，清华大学出版社，2005 年 10 月第 2 版. - 6 - [3]（美）阿维纳什·迪克西特．冯曲等译.《经济理论中的最优化方法》 ，格致出版 社，2013 年 6 月第 2 版 [4]（日）高山晟. 杨斌等译.《数理经济学》 ，中国人民大学出版社，2009 年 6 月第 2 版. [5]（美）蒋中一. 《动态最优化基础》 ，中国人民大学出版社，2015 年 11 月. [6]（美）Gerard Cornuejole 等著. 梁治安等译. 《金融学中的优化方法》 ，科学 出版社，2013 年 6 月. [7] （美） Manfred Gilli 等. 《金融中的数值方法和优化》 ， 世界图书出版公司， 2013 年 1 月. [8] 谢金星，薛毅. 《优化建模与 LINDO/LINGO 软件》 ，清华大学出版社，2005 年 7 月. 执笔人：刘威仪 教研室主任： 系教学主任审核签名：