高三总复习-数列不等式题型含答案

小古数学 一对一辅导教案一对一辅导教案 学生姓名学生姓名 授课教师授课教师 教学课题教学课题 【数列与不等式：放缩法】【数列与不等式：放缩法】 性别性别年级年级高三学科学科数学 2 2 小时小时上课时间上课时间20202020 年年第（第（）次课）次课 数列的综合问题数列的综合问题 【数列变相同项】【数列变相同项】求证： 求证：. . 【裂项不等式【裂项不等式- -乘法缩小】乘法缩小】求证： 求证：1+1+ 111  2(n(n N ) 22223n 证明：证明： 1+1+ 1111 (n  2) n2n(n 1)n 1n 111111111 11 2 2 223n 1nn2232n2 【裂项不等式【裂项不等式- -移位套变】移位套变】求证： 111  2  2  2123  17  2n4 证明： 1111  2nn(n1)n1n  111  2  2  2123  1111 1( 22n223  115117 ) (). n1n42n4 需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询 小古数学 【裂项不等式【裂项不等式- -平方差裂项】平方差裂项】已知数列a n中 a n  放缩二： 1111 ，证明：S  n n2122232  15  n23 111111 (),(n  2) 22nn 1(n1)(n1)2 n1n1 1111111 1111  ()( 222222123n122 2435 51 111151 115 () ( ) . 42 23nn142 233 S n  放缩三：  1111 ) n2nn1n1 1111111  ()  2(),(n 1) 11 n2 n2 1 (n 1 )(n 1 ) 2n12n1 nn 42222 S n  111  2  22123  11111 12(  2n3557  11115 ) 12( )  2n12n132n13 【裂项不等式【裂项不等式- -倍数变化缩小法】倍数变化缩小法】求证： 求证：1+1+ 2 22  3 32  n n2  3(n(n 2,n N) 证明：证明： n n2 2  1 nn  2 n n  n n   2 (n1) n  n n1  2( 1 n 1  1 = = 2( n n 1) n(n 1)n(n 1)( n 1n)n ) 1+.1+. 2 22  3 32  n n2 1 2(1 1 2  1 2  1 3  1 n1  1 n )  3 1 n  3 n(n 1)(n 1)2 12 23 n(n 1) .(n(n N ) ) 【根式不等式【根式不等式- -加减变化】加减变化】求证： 求证： 22 证明：证明：n(n 1) n2 n 12 23 n(n1)1 2 n  又又n(n 1)  n  n 12n 1  22 n(n 1) ，， 2 n2 2n(n 1)21 ,得证。得证。 12 23 n(n1)(35 2n 1)= = 222 需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询 小古数学 1111  3. 112123123n 111 证明：由 k1 ,（k是大于 2 的自然数） 123k12222 1111 得1 112123123n 1 1 n 1111 2  3 1  3.11 2  3  n1 1 1 22222n1 1 2 【多数相乘变等比】【多数相乘变等比】求证：1 【变形套用【变形套用 1 1】】 【证明】 【变形套用【变形套用 2 2】】 需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询 小古数学 【变式【变式 1 1】】已知正项数列a n的前 n项和为S n ，且an 2 （1）求证：数列S n 是等差数列 1  2S n ,nN a n   3 （（2 2）记数列）记数列bn 2Sn,Tn 11  b 1 b 2  1131 Tn ，证明：，证明：1 b n 2n1n 解：（1）an 11  2S n  S n S n1  2S n n  2 a n S n S n1  1 22 S n  S n  S n1 S n1 1 S n S n1 2S n  为等差数列 （2）思路：先利用（1）可求出Sn的公式进而求出b n  2n n，则 号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令n 1代入an 11  ，考虑进行放缩求和，结合不等 b n 2n n 1  2S n 可得： a n a 1  1  2a 1  a 1 1即S11 a 1 2 由S n 为等差数列可得：Sn S1n1 n 22   需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询 小古数学 S n nb n  2n n  11  bn2n n 考虑先证T n  31  2n 11  b n n2 nn n  2时 1  n1n  n n1n n111  n  2 nn1n nn1 T n  11  11  1  b 1  2  2 3  13 1 22 1 11 311 1  22 n  nnn1 n 1时，T 1  T n  31  2n 1 n1 再证Tn1 11  b n n2 nn 1  n1n  n1nn1n11  nnn1 nn1 11 1 1  n1 n1n 1   11  T n  1   2  2 3   综上所述：1 131 T n  2n1n 1 【变式【变式 2 2】】已知数列 {an}为等差数列，a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21，数列{}的前 n 项和为 Sn，若对一切n∈N N*， an m 恒有 S2n－Sn＞成立，则 m 能取到的最大正整数是________． 16 答案：7；  a1＋2d＝3a1＝1 解析：设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21 可得，解得， 6a1＋15d＝21 d＝1 需要定做，可在百度店铺咨询需要定做，可在百度店铺咨询 小古数学 11 ∴an＝n，＝ . ann 1111111111 ∴Sn＝1＋ ＋…＋ ，∴令