圆系方程及其的应用

实用标准文案 精彩文档 直线系、圆系方程? ? 、过定点直线系方程在解题中的应用? 过定点（ 0 x， 0 y ）的直线系方程： 00 ()()0A xxB yy （???不同时为 ? ）?? 例???求过点( 14)P  ，圆 22(2)(3)1xy 的切线的方程．? 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法?? ??解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A xB y（其中A B， 不全为零） ，? ??则整理有40AxByAB，? ?∵直线 ? 与圆相切，∴圆心(2 3)C，到直线 ? 的距离等于半径 ? ，故 22 234 1 ABAB AB    ，? ??整理，得(43 )0AAB，即 0A  （这时 0B  ） ，或 3 0 4 AB ．? ??故所求直线 ? 的方程为4y 或34130 xy．? 点评：对求过定点 （ 0 x ， 0 y ） 的直线方程问题， 常用过定点直线法， 即设直线方程为?? 00 ()()0A xxB yy ， 注意的此方程表示的是过点 00 ()P xy， 的所有直线（即直线系） ，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素 的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．? 练习：?过点( 14)P  ，作圆 22(2)(3)1xy 的切线 ? ，求切线 ? 的方程．? ??解：设所求直线 ? 的方程为(1)(4)0A xB y（其中A B， 不全为零） ，? ??则整理有40AxByAB，? ?∵直线 ? 与圆相切，∴圆心(2 3)C，到直线 ? 的距离等于半径 ? ，故 22 234 1 ABAB AB    ，? ??整理，得(43 )0AAB，即 0A  （这时 0B  ） ，或 3 0 4 AB ．? ??故所求直线 ? 的方程为4y 或34130 xy．? ? ? 、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用? 过直线l： 111 0AxB yC （ 11 ,A B不同时为 ? ）与m： 222 0A xB yC （ 22 ,A B 不同时为 ? ）交点的直线 系方程为： 111222 ()0AxB yCA xB yC （ R ，为参数）?? 例 ??求过直线：210 xy 与直线：210 xy 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程?? 实用标准文案 精彩文档 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解?? 解析：设所求直线方程为：21(21)0 xyxy   ，? 当直线过原点时，则1  ??，则? －? ，? 此时所求直线方程为：20 xy；? 当所求直线不过原点时，令x??，解得y? 1 2     ，? 令y??，解得x? 1 21      ，? 由题意得， 1 2     ? 1 21      ，解得 1 3  ，? 此时，所求直线方程为：5540 xy?? 综上所述，所求直线方程为：20 xy或5540 xy?? ? 、求直线系方程过定点问题? 例 ??证明：直线10mxym ?m是参数且m∈??过定点，并求出定点坐标?? 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法?? 解析： （恒等式法）直线方程化为?(1)10 xmy ?? ∵m∈????∴ 10 10 x y       ，解得， 1x  ，1y ，? ∴直线10mxym ?m是参数且m∈??过定点（???）?? （特殊直线法）取m??，m?? 得，1y ，20 xy，联立解得， 1x  ，1y ，? 将（???）代入10mxym 检验满足方程，? ∴直线10mxym ?m是参数且m∈??过定点（???）?? 点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的 恒等式形式，利用参数属于 ? ，则恒等式个系数为 ? ，列出关于, x y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标? 特殊直 线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得 定点?? ? 一、常见的圆系方程有如下几种：? ? 、以( , ) a b 为圆心的同心圆系方程： 222()()(0)xayb  ?? 与圆 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为： 22yx  ＋Dx＋Ey＋＝０? 实用标准文案 精彩文档 ? 、 过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为： 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax ＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ）? ? 、过两圆 1 C? 22yx  ＋ 111 FyExD ＝? ， 2 C ? 22yx  ＋ 222 FyExD ＝０交点的圆系方程为： 22yx  ＋ 111 FyExD ＋（ 22yx  ＋ 222 FyExD ）＝? （≠? １，此圆系不含 2 C ? 22yx  ＋ 222 FyExD ＝ ０）? 特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．? 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 2 C ，可等价转化为过圆 1 C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方 程? 22 111121212 [()()()]0 xyD xE yFDD xEEyFF ? 二、圆系方程在解题中的应用：? ? 、利用圆系方程求圆的方程：? 例???求经过两圆? ??????? ????和? ??????? ?????的交点，并且圆心在直线???????上的圆的方程。? 例１、求经过两圆 22yx  ＋?x－y－? ＝０和 2233yx  ＋?x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．? 解：方法 ? ：由题可设所求圆的方程为：? ??（ 22yx  ＋?x－y－? ）＋（ 2233yx  ＋?x＋y＋１）＝０? ∵?（? ，? ）在所求的圆上，∴?有－? ＋＝０．?从而＝２? 故所求的圆的方程为：?0) 1233(2)23( 2222yxyxyxyx ? 即? 2277yx  ＋?x＋y＝０。? 练习：求经过两圆 ? ??????? ???和 ? ??????? ????的交点? 并且圆心在直线 ? ? ???上的圆的方程?? ? 解??构造方程?? ??????? ??λ?? ??????? ?????? 即????λ?? ????? λ?? ?????? λ? ?????λ???? 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆? 且圆心为 ) 1 3 , 1 3 (       ? 当该圆心在直线 ? ? ???上时? 即? . 7, 04 1 3 1 3         