圆系方程及其的应用

实用标准文案 精彩文档 直线系、圆系方程 、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（ 0 x， 0 y ）的直线系方程 00 0A xxB yy （不同时为 ） 例求过点 14P  ，圆 22231xy 的切线的方程． 分析本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法 解析设所求直线的方程为140A xB y（其中A B， 不全为零） ， 则整理有40AxByAB， ∵直线 与圆相切，∴圆心2 3C，到直线 的距离等于半径 ，故 22 234 1 ABAB AB    ， 整理，得43 0AAB，即 0A  （这时 0B  ） ，或 3 0 4 AB ． 故所求直线 的方程为4y 或34130 xy． 点评对求过定点 （ 0 x ， 0 y ） 的直线方程问题， 常用过定点直线法， 即设直线方程为 00 0A xxB yy ， 注意的此方程表示的是过点 00 P xy， 的所有直线（即直线系） ，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素 的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习过点 14P  ，作圆 22231xy 的切线 ，求切线 的方程． 解设所求直线 的方程为140A xB y（其中A B， 不全为零） ， 则整理有40AxByAB， ∵直线 与圆相切，∴圆心2 3C，到直线 的距离等于半径 ，故 22 234 1 ABAB AB    ， 整理，得43 0AAB，即 0A  （这时 0B  ） ，或 3 0 4 AB ． 故所求直线 的方程为4y 或34130 xy． 、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l 111 0AxB yC （ 11 ,A B不同时为 ）与m 222 0A xB yC （ 22 ,A B 不同时为 ）交点的直线 系方程为 111222 0AxB yCA xB yC （ R ，为参数） 例 求过直线210 xy 与直线210 xy 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程 实用标准文案 精彩文档 分析本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解 解析设所求直线方程为21210 xyxy   ， 当直线过原点时，则1  ，则 － ， 此时所求直线方程为20 xy； 当所求直线不过原点时，令x，解得y 1 2     ， 令y，解得x 1 21      ， 由题意得， 1 2     1 21      ，解得 1 3  ， 此时，所求直线方程为5540 xy 综上所述，所求直线方程为20 xy或5540 xy 、求直线系方程过定点问题 例 证明直线10mxym m是参数且m∈过定点，并求出定点坐标 分析本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法 解析 （恒等式法）直线方程化为110 xmy  ∵m∈∴ 10 10 x y       ，解得， 1x  ，1y ， ∴直线10mxym m是参数且m∈过定点（） （特殊直线法）取m，m 得，1y ，20 xy，联立解得， 1x  ，1y ， 将（）代入10mxym 检验满足方程， ∴直线10mxym m是参数且m∈过定点（） 点评对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的 恒等式形式，利用参数属于 ，则恒等式个系数为 ，列出关于, x y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标 特殊直 线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得 定点 一、常见的圆系方程有如下几种 、以 , a b 为圆心的同心圆系方程 2220xayb  与圆 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为 22yx  ＋Dx＋Ey＋＝０ 实用标准文案 精彩文档 、 过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为 22yx  ＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax ＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ） 、过两圆 1 C 22yx  ＋ 111 FyExD ＝ ， 2 C 22yx  ＋ 222 FyExD ＝０交点的圆系方程为 22yx  ＋ 111 FyExD ＋（ 22yx  ＋ 222 FyExD ）＝ （≠ １，此圆系不含 2 C 22yx  ＋ 222 FyExD ＝ ０） 特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 2 C ，可等价转化为过圆 1 C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方 程 22 111121212 []0 xyD xE yFDD xEEyFF 二、圆系方程在解题中的应用 、利用圆系方程求圆的方程 例求经过两圆 和 的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。 例１、求经过两圆 22yx  ＋x－y－ ＝０和 2233yx  ＋x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解方法 由题可设所求圆的方程为 （ 22yx  ＋x－y－ ）＋（ 2233yx  ＋x＋y＋１）＝０ ∵（ ， ）在所求的圆上，∴有－ ＋＝０．从而＝２ 故所求的圆的方程为0 1233223 2222yxyxyxyx 即 2277yx  ＋x＋y＝０。 练习求经过两圆 和 的交点 并且圆心在直线  上的圆的方程 解构造方程 λ  即λ λ λ λ 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆 且圆心为 1 3 , 1 3       当该圆心在直线  上时 即 . 7, 04 1 3 1 3         