二次函数的解法及练习题

精品文档---下载后可任意编辑 授课类型 S-一元二次函数 教学目标 1. 二次函数的有关概念 2. 解二次函数的方法 3. 二次函数根与系数的关系 教学内容 第一课时 一元二次函数概念及解法（1） 考点一：一元二次函数的概念 1. 定义：等号两边都是等式，只有一个未知数（一元），而且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式时ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次系数，bx是一次项，c是常数项。 3. 使等式左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的解 注： 一元二次方程的三要素 1) 整式方程 2) 只含有一个未知数 3) 未知数的最高次数是2 4. 一元二次不等式的解的判定方法。将解的这个值代入到一元二次方程的左右两边，看方程的两边是否相等，若相等，则这个数就是方程的解；若不等，则不是这个方程的解。 典型例题： 例1.在下列方程中，一元二次方成有_________ x3-2x2=0 3x2- +6=0 x2= ax2+bx+c=0 x2+4x-6=0 (x-2)(x+3)=x2-1 例2. 若（a-1）x2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A a≠0 B a≠1 C a=1 D a≠-1 例3. 若（a+6）xa+2+ax-12=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A a≠-6 B a=-2 C a≠-0 D a=0 考点二:一元二次函数的解法。 解一元二次方程，我们通常使用的三种方法为“公式法、配方法、因式分解法”，这三种方法的使用特点各不相同。“公式法”对任何二元一次函数都可以使用，根据我们要解的方程不同选择合适的解法。 1． 配方法 一般对于x2=p （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不相等的实数根：= = -。 （2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根，==0 （3）当p＜0时，因为对任意实数x都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根。 假如方程能化成x2=p或（mx2+n）2=p(p＞0)的形式，那么可得x=± 或 mx+n=± 通过配成完全平方形式来解一元二次的方程的方法，叫做配方法，配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个二元一次的方程来解。 配方法的一般步骤： (一) 移项。将常数项移到等号的右边，含未知数的项移到等号的左边 (二) 二次项系数化1。等号左右两边同时除以二次项系数 (三) 配方。等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方。 (四) 写成(x+h)2=k (k≥0)的形式。 (五) 直接开平方法求解。 2． 公式法。 我们先要将一元二次方程转化为一般形式，然后找出一般形式中的“a、b、c”将其带入到求根公式中的 ，当=b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可以写成x=的形式 ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。 把各系数直接带入公式，求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做“公式法” 用公式法解一元二次方程的步骤 (一) 把方程化成一般形式（ax2+bx+c=0） (二) 确定a、b、c的值 (三) 计算的值（b2-4ac） 0，带入求根公式，解出、 0，无实数根 3．因式分解法 通过因式分解，是一个一元二次的方程转化为两个一次的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤 (一) 移项。将方程的右边转化为零 (二) 化积。把方程左边分解为两个一次项式的乘积 (三) 转化。令每个因式分解分别为零，得到两个一元一次方程。 (四) 求解。解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 典型例题 1.用公式法解下列方程。 (1)x2-2x-8=0 (2)4y=1-y2 (3)3y2+1=2y (4)2x2-5x+1=0 (5)-4x2-8x=-1 (6)x2-x-=0 2. 用配方法解下列方程。 (1) x2-4x=96 (2) x2-4x-5=0 (3) y2-6y-6=0 (4) 3x2-2=4x (5) 3x2+2x-7=0 （6） 2x2+3x-1=0 3.（2024山西，9）用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为 =(x-4)2+7 =(x-4)2-25 =(x+4)2+7 =(x+4)2-25 4.用因式分解法解下列一元二次方程。 (1) 2(x+3)2-4=0 (2) (x-1)(x-2)=2(x+2) (3) 9(2x-3)2-4(2x+1)2=0 (4) x2=2x (5)x2-6x+8=0 (6) x2-3x-4=0 第二课时 一元二次方程根的推断式和根与系数的关系 考点三：一元二次方程根的推断式及应用 1． 推断式。 ax2++bx+c=0 (a≠0) 配成（x+)2=后，可以看出，只有当b2-4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2-4ac的值就决定着方程根的情况。 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2++bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用“”表示它，及=b2-4ac。 一元二次方程根的判别式三种情况 (1) ＞0，方程有两个不相等的实数根。 (2) ＝0，方程有两个相等的实数根（一个实数根）。 (3) ＜0，方程没有实数根。 注意： =b2-4ac只适用于一元二次方程。 使用时，先要将一元二次方程转化为一般形式后，才可求。 当=b2-4ac。＞0时，方程才有实数根 2.一元二次方程跟与系数的关系 。 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，设这两个实数根为、，由求根公式得 x=()，令=，=，由此可得 += - ，= 这一结论可表述为：一元二次方程的两个跟的和 等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比，此结论称为“一元二次方程根与系数的关系”。 应用： （1）验根：不解方程，利用一元二次方程跟与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。 (2)已知方程的一个根，求另一个根及未知数系数。 (3)不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于、的对称式的值。 (4)一直方程的两根满足某种关系，确定方程中字母的系数的值 拓展： (1) 2+2=（+）2-2 (2) += (3) （+a）