中考数学—初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案

中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案 一、旋转一、旋转 1．如图所示， (1)正方形 ABCD 及等腰 Rt△ AEF 有公共顶点 A，∠ EAF=90°，连接 BE、DF．将 Rt△ AEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明； (2)将(1)中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 Rt△ AEF 变为 Rt△ AEF，且 AD=kAB， AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由； (3)将(2)中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 Rt△ AEF 变为△ AEF，且 ∠ BAD=∠ EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接 写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF 形成的锐角 β． 【答案】（1）DF=BE 且 DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即 DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠ BAE 与∠ DAF 都与∠ BAF 互 余，所以∠ BAE＝∠ DAF，所以△ FAD≌ △ EAB，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE 于 G， 根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠ EGF＝90°，所以 DF⊥BE； （2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例， 所以△ FAD∽ △ EAB，所以 DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角 和等于 360°求出∠ EHF＝90°，所以 DF⊥BE； （3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出∠ EAF+∠ EHF＝180°，所以 DF 与 BE 的夹角 β＝180°﹣α． 【详解】 （1）DF 与 BE 互相垂直且相等． 证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G 在正方形 ABCD 和等腰直角△ AEF 中 AD＝AB，AF＝AE， ∠ BAD＝∠ EAF＝90° ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD≌ △ EAB ∴ ∠ AFD＝∠ AEB，DF＝BE ∵ ∠ AFD+∠ AFG＝180°， ∴ ∠ AEG+∠ AFG＝180°， ∵ ∠ EAF＝90°， ∴ ∠ EGF＝180°﹣90°＝90°， ∴ DF⊥BE （2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE． 延长 DF 交 EB 于点 H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ ∴ ADAF  k， k ABAE ADAF  ABAE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB DFAF  k BEAE ∴ DF＝kBE ∴ ∵ △ FAD∽ △ EAB， ∴ ∠ AFD＝∠ AEB， ∵ ∠ AFD+∠ AFH＝180°， ∴ ∠ AEH+∠ AFH＝180°， ∵ ∠ EAF＝90°， ∴ ∠ EHF＝180°﹣90°＝90°， ∴ DF⊥BE （3）不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a． 延长 DF 交 EB 的延长线于点 H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ ∴ ADAF  k， k ABAE ADAF  ABAE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB DFAF  k BEAE ∴ DF＝kBE ∴ 由△ FAD∽ △ EAB 得∠ AFD＝∠ AEB ∵ ∠ AFD+∠ AFH＝180° ∴ ∠ AEB+∠ AFH＝180° ∵ 四边形 AEHF 的内角和为 360°， ∴ ∠ EAF+∠ EHF＝180° ∵ ∠ EAF＝α，∠ EHF＝β ∴ a+β＝180°∴ β＝180°﹣a 【点睛】 本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利 用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在． 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点 M，N 是射线 OC 上两动点(OM＜ ON)，且运动过程中始终保持∠ MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点 M，N 均在线段 OB 上时(如图 1)，有 OM2+BN2＝MN2． 他的证明思路如下： 第一步：将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． 第二步：证明△ APM≌ △ ANM，得 MP＝MM． 第一步：证明∠ POM＝90°，得 OM2+OP2＝MP2． 最后得到 OM2+BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明． (2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由． (3)新题编制：若点 B 是 MN 的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出 答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)． 【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】 （1）将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN=OP．证明 △ APM≌ △ ANM，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图 2 中，当点 M，N 在 OB 的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长．利用（2）中结论，构建方程即可解 决问题． 【详解】 （1）如图 1 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． ∵ 点 A(0，4)，B(4，4)， ∴ OA＝AB，∠ OAB＝90°， ∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90°，∠ MAN＝45°， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAP(SAS)． （2）如图 2 中，结论仍然成立． 理由：如图 2 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． ∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90°，∠ MAN＝45°， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAP(SAS)， ∴ MN＝PM， ∵ ∠ ABN＝∠ AOP＝135°，∠ AOB＝45°， ∴ ∠ MOP＝90°， ∴ PM2＝OM2+OP2， ∴ OM2+BN2＝MN2； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长． 设 MN＝2x，则 BM＝BN＝x， ∵ OA＝AB＝4，∠ OAB＝90°， ∴ OB＝4 2， ∴ OM＝4 2﹣x， ∵ OM2+BN2＝MN2． ∴ (4 2﹣x)2+x2＝(2x)2， 解得 x＝﹣22+26或﹣22﹣2