中考数学—初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案

中考数学初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案 一、旋转一、旋转 1．如图所示， 1正方形 ABCD 及等腰 Rt△ AEF 有公共顶点 A，∠ EAF90，连接 BE、DF．将 Rt△ AEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系结合图1给予证明； 2将1中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 Rt△ AEF 变为 Rt△ AEF，且 ADkAB， AFkAE，其他条件不变．1中的结论是否发生变化结合图2说明理由； 3将2中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 Rt△ AEF 变为△ AEF，且 ∠ BAD∠ EAFa，其他条件不变．2中的结论是否发生变化结合图3，如果不变，直接 写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用 a 表示出直线 BE、DF 形成的锐角 β． 【答案】（1）DFBE 且 DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即 DFkBE，DF⊥BE；（3）不改变．DFkBE，β180-α 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠ BAE 与∠ DAF 都与∠ BAF 互 余，所以∠ BAE＝∠ DAF，所以△ FAD≌ △ EAB，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE 于 G， 根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360求出∠ EGF＝90，所以 DF⊥BE； （2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例， 所以△ FAD∽ △ EAB，所以 DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角 和等于 360求出∠ EHF＝90，所以 DF⊥BE； （3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360求出∠ EAF∠ EHF＝180，所以 DF 与 BE 的夹角 β＝180﹣α． 【详解】 （1）DF 与 BE 互相垂直且相等． 证明延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G 在正方形 ABCD 和等腰直角△ AEF 中 AD＝AB，AF＝AE， ∠ BAD＝∠ EAF＝90 ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD≌ △ EAB ∴ ∠ AFD＝∠ AEB，DF＝BE ∵ ∠ AFD∠ AFG＝180， ∴ ∠ AEG∠ AFG＝180， ∵ ∠ EAF＝90， ∴ ∠ EGF＝180﹣90＝90， ∴ DF⊥BE （2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE． 延长 DF 交 EB 于点 H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ ∴ ADAF  k， k ABAE ADAF  ABAE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB DFAF  k BEAE ∴ DF＝kBE ∴ ∵ △ FAD∽ △ EAB， ∴ ∠ AFD＝∠ AEB， ∵ ∠ AFD∠ AFH＝180， ∴ ∠ AEH∠ AFH＝180， ∵ ∠ EAF＝90， ∴ ∠ EHF＝180﹣90＝90， ∴ DF⊥BE （3）不改变．DF＝kBE，β＝180﹣a． 延长 DF 交 EB 的延长线于点 H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ ∴ ADAF  k， k ABAE ADAF  ABAE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB DFAF  k BEAE ∴ DF＝kBE ∴ 由△ FAD∽ △ EAB 得∠ AFD＝∠ AEB ∵ ∠ AFD∠ AFH＝180 ∴ ∠ AEB∠ AFH＝180 ∵ 四边形 AEHF 的内角和为 360， ∴ ∠ EAF∠ EHF＝180 ∵ ∠ EAF＝α，∠ EHF＝β ∴ aβ＝180∴ β＝180﹣a 【点睛】 本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利 用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在． 2．在平面直角坐标系中，已知点A0，4，B4，4，点 M，N 是射线 OC 上两动点OM＜ ON，且运动过程中始终保持∠ MAN＝45，小明用几何画板探究其中的线段关系． 1探究发现当点 M，N 均在线段 OB 上时如图 1，有 OM2BN2＝MN2． 他的证明思路如下 第一步将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． 第二步证明△ APM≌ △ ANM，得 MP＝MM． 第一步证明∠ POM＝90，得 OM2OP2＝MP2． 最后得到 OM2BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明． 2继续探究除1外的其他情况，OM2BN2＝MN2的结论是否仍然成立若成立，请证 明；若不成立，请说明理由． 3新题编制若点 B 是 MN 的中点，请你编制一个计算题不标注新的字母，并直接给出 答案根据编出的问题层次，给不同的得分． 【答案】1见解析；2结论仍然成立，理由见解析；3见解析. 【解析】 【分析】 （1）将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90得△ APO，连结 PM，则有 BNOP．证明 △ APM≌ △ ANM，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图 2 中，当点 M，N 在 OB 的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长．利用（2）中结论，构建方程即可解 决问题． 【详解】 （1）如图 1 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． ∵ 点 A0，4，B4，4， ∴ OA＝AB，∠ OAB＝90， ∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90，∠ MAN＝45， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAPSAS． （2）如图 2 中，结论仍然成立． 理由如图 2 中，将△ ANB 绕点 A 顺时针旋转 90得△ APO，连结 PM，则有 BN＝OP． ∵ ∠ NAP＝∠ OAB＝90，∠ MAN＝45， ∴ ∠ MAN＝∠ MAP， ∵ MA＝MA，AN＝AP， ∴ △ MAN≌ △ MAPSAS， ∴ MN＝PM， ∵ ∠ ABN＝∠ AOP＝135，∠ AOB＝45， ∴ ∠ MOP＝90， ∴ PM2＝OM2OP2， ∴ OM2BN2＝MN2； （3）如图 3 中，若点 B 是 MN 的中点，求 MN 的长． 设 MN＝2x，则 BM＝BN＝x， ∵ OA＝AB＝4，∠ OAB＝90， ∴ OB＝4 2， ∴ OM＝4 2﹣x， ∵ OM2BN2＝MN2． ∴ 4 2﹣x2x2＝2x2， 解得 x＝﹣2226或﹣22﹣2