中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案

一、旋转一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．平面上，Rt△ ABC 与直径为 CE 的半圆 O 如图 1 摆放，∠ B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝ n，半圆 O 交 BC 边于点 D，将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆 O 旋转且 ∠ ECD 始终等于∠ ACB，旋转角记为 α（0°≤α≤180°） （1）当 α＝0°时，连接 DE，则∠ CDE＝°，CD＝； BD 的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明； AE （3）若 m＝10，n＝8，当 α＝∠ ACB 时，求线段 BD 的长； （2）试判断：旋转过程中 （4）若 m＝6，n＝42，当半圆 O 旋转至与△ ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的 长． 【答案】（1）90°， 【解析】 试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE∥ AB 得 BD、AE 即可解决问题． （2）只要证明△ ACE∽ △ BCD 即可． （3）求出 AB、AE，利用△ ACE∽ △ BCD 即可解决问题． （4）分类讨论：①如图 5 中，当 α=90°时，半圆与 AC 相切，②如图 6 中，当 α=90°+∠ ACB 时，半圆与 BC 相切，分别求出 BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图 1 中，当 α=0 时，连接 DE，则 ∠ CDE=90°．∵ ∠ CDE=∠ B=90°，∴ DE∥ AB，∴ 案为 90°， n 2 11412 5 ；（2）无变化；（3）；（4）BD=2 10或． 2 35 CDCE  即可解决问题．②求出 CBCA CECD11  =．∵ BC=n，∴ CD= n．故答 ACCB22 1 n． 2 33BDn n，AE=AC+CE=m，∴=．故答案为 22AEm ②如图 2 中，当 α=180°时，BD=BC+CD= n ． m （2）如图 3 中，∵ ∠ ACB=∠ DCE，∴ ∠ ACE=∠ BCD．∵ CDBCn  ， CEACm ∴ △ ACE∽ △ BCD，∴ BDBCn  ． AEACm （3）如图 4 中，当 α=∠ ACB 时．在 Rt△ ABC 中，∵ AC=10，BC=8， ∴ AB= ∴ AE= ∴ AC2BC2=6．在 Rt△ ABE 中，∵ AB=6，BE=BC﹣CE=3， AB2 BE2 =6232=35，由（2）可知△ ACE∽ △ BCD，∴ BDBC  ， AEAC BD8 12 512 5 =，∴ BD=．故答案为． 3 510 55 （4）∵ m=6，n=4 2，∴ CE=3，CD=22，AB= CA2BC2=2，①如图 5 中，当 α=90° 22=2时，半圆与 AC 相切．在 Rt△ DBC 中，BD=BC2CD2=（4 2）10． （2 2） ②如图 6 中，当 α=90°+∠ ACB 时，半圆与 BC 相切，作 EM⊥AB 于 M．∵ ∠ M=∠ CBM=∠ BCE=90°，∴ 四边形 BCEM 是矩形，∴BM  EC 3，ME  4 2， ∴ AM=5，AE= AM2 ME2 =57，由（2）可知 DB 2 22 114 =，∴ BD=． AE 33 故答案为 210或 2 114 ． 3 点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出 图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题． 2．如图 1，在 Rt△ ADE 中，∠ DAE=90°，C 是边 AE 上任意一点（点 C 与点 A、E 不重 合），以 AC 为一直角边在 Rt△ ADE 的外部作 Rt△ ABC，∠ BAC=90°，连接 BE、CD． （1）在图 1 中，若 AC=AB，AE=AD，现将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角 α， 得到图 2，那么线段 BE．CD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由； （2）在图 1 中，若 CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋 转锐角 α，得到图 3，连接 BD、CE． ①求证：△ ABE∽ △ ACD； ②计算：BD2+CE2的值． 【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170． 【解析】 【分析】 （1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△ BAE≌ △ CAD，即可解决问题； （2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ ABE∽ △ ACD． ②由①得到∠ AEB=∠ CDA．再根据等量代换得到∠ DGE=90°，即 DG⊥BE，根据勾股定理 得到 BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算． 【详解】 （1）结论：BE=CD，BE⊥CD． 理由：设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 CD 的交点为点 G，如图 2． ∵ ∠ CAB=∠ EAD=90°，∴ ∠ CAD=∠ BAE． AB  AC  在△ CAD 和△ BAE 中，∵BAE  CAD，∴ △ CAD≌ △ BAE，∴ CD=BE，  AE  AD  ∠ ACD=∠ ABE． ∵ ∠ BFA=∠ CFG，∠ BFA+∠ ABF=90°，∴ ∠ CFG+∠ ACD=90°，∴ ∠ CGF=90°，∴ BE⊥CD． （2）①设 AE 与 CD 于点 F，BE 与 DC 的延长线交于点 G，如图 3． ∵ ∠ CABB=∠ EAD=90°，∴ ∠ CAD=∠ BAE． AEAD ==2，∴ △ ABE∽ △ ACD； ABAC ②∵ △ ABE∽ △ ACD，∴ ∠ AEB=∠ CDA． ∵ CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴ ∵ ∠ AFD=∠ EFG，∠ AFD+∠ CDA=90°，∴ ∠ EFG+∠ AEB=90°，∴ ∠ DGE=90°，∴ DG⊥BE， ∴ ∠ AGD=∠ BGD=90°，∴ CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴ BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2． ∵ CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴ BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170． 【点睛】 本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键． 3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片 ABCD(ABBC)，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；②沿折痕 BG 折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的点 P 处，再折出 PB、PC，最后用笔画出△PBC(图 1)． （1）求证：图 1 中的PBC 是正三角形： （2）如图 2，小明在矩形纸片 HIJK 上又画了一个正三角形IMN，其中 IJ=6cm， 且 HM=JN． ①求证：IH=IJ ②请求出 NJ 的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度 a 变化时，在矩形纸片 上总能画出最大的正三角形，