中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案

一、旋转一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．平面上，Rt△ ABC 与直径为 CE 的半圆 O 如图 1 摆放，∠ B＝90，AC＝2CE＝m，BC＝ n，半圆 O 交 BC 边于点 D，将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆 O 旋转且 ∠ ECD 始终等于∠ ACB，旋转角记为 α（0≤α≤180） （1）当 α＝0时，连接 DE，则∠ CDE＝，CD＝； BD 的大小有无变化请仅就图2 的情形给出证明； AE （3）若 m＝10，n＝8，当 α＝∠ ACB 时，求线段 BD 的长； （2）试判断旋转过程中 （4）若 m＝6，n＝42，当半圆 O 旋转至与△ ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的 长． 【答案】（1）90， 【解析】 试题分析（1）①根据直径的性质，由DE∥ AB 得 BD、AE 即可解决问题． （2）只要证明△ ACE∽ △ BCD 即可． （3）求出 AB、AE，利用△ ACE∽ △ BCD 即可解决问题． （4）分类讨论①如图 5 中，当 α90时，半圆与 AC 相切，②如图 6 中，当 α90∠ ACB 时，半圆与 BC 相切，分别求出 BD 即可． 试题解析（1）解①如图 1 中，当 α0 时，连接 DE，则 ∠ CDE90．∵ ∠ CDE∠ B90，∴ DE∥ AB，∴ 案为 90， n 2 11412 5 ；（2）无变化；（3）；（4）BD2 10或． 2 35 CDCE  即可解决问题．②求出 CBCA CECD11  ．∵ BCn，∴ CD n．故答 ACCB22 1 n． 2 33BDn n，AEACCEm，∴．故答案为 22AEm ②如图 2 中，当 α180时，BDBCCD n ． m （2）如图 3 中，∵ ∠ ACB∠ DCE，∴ ∠ ACE∠ BCD．∵ CDBCn  ， CEACm ∴ △ ACE∽ △ BCD，∴ BDBCn  ． AEACm （3）如图 4 中，当 α∠ ACB 时．在 Rt△ ABC 中，∵ AC10，BC8， ∴ AB ∴ AE ∴ AC2BC26．在 Rt△ ABE 中，∵ AB6，BEBC﹣CE3， AB2 BE2 623235，由（2）可知△ ACE∽ △ BCD，∴ BDBC  ， AEAC BD8 12 512 5 ，∴ BD．故答案为． 3 510 55 （4）∵ m6，n4 2，∴ CE3，CD22，AB CA2BC22，①如图 5 中，当 α90 222时，半圆与 AC 相切．在 Rt△ DBC 中，BDBC2CD2（4 2）10． （2 2） ②如图 6 中，当 α90∠ ACB 时，半圆与 BC 相切，作 EM⊥AB 于 M．∵ ∠ M∠ CBM∠ BCE90，∴ 四边形 BCEM 是矩形，∴BM  EC 3，ME  4 2， ∴ AM5，AE AM2 ME2 57，由（2）可知 DB 2 22 114 ，∴ BD． AE 33 故答案为 210或 2 114 ． 3 点睛本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出 图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题． 2．如图 1，在 Rt△ ADE 中，∠ DAE90，C 是边 AE 上任意一点（点 C 与点 A、E 不重 合），以 AC 为一直角边在 Rt△ ADE 的外部作 Rt△ ABC，∠ BAC90，连接 BE、CD． （1）在图 1 中，若 ACAB，AEAD，现将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角 α， 得到图 2，那么线段 BE．CD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由； （2）在图 1 中，若 CA3，AB5，AE10，AD6，将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋 转锐角 α，得到图 3，连接 BD、CE． ①求证△ ABE∽ △ ACD； ②计算BD2CE2的值． 【答案】（1）BECD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2CE2170． 【解析】 【分析】 （1）结论BECD，BE⊥CD；只要证明△ BAE≌ △ CAD，即可解决问题； （2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ ABE∽ △ ACD． ②由①得到∠ AEB∠ CDA．再根据等量代换得到∠ DGE90，即 DG⊥BE，根据勾股定理 得到 BD2CE2CB2ED2，即可根据勾股定理计算． 【详解】 （1）结论BECD，BE⊥CD． 理由设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 CD 的交点为点 G，如图 2． ∵ ∠ CAB∠ EAD90，∴ ∠ CAD∠ BAE． AB  AC  在△ CAD 和△ BAE 中，∵BAE  CAD，∴ △ CAD≌ △ BAE，∴ CDBE，  AE  AD  ∠ ACD∠ ABE． ∵ ∠ BFA∠ CFG，∠ BFA∠ ABF90，∴ ∠ CFG∠ ACD90，∴ ∠ CGF90，∴ BE⊥CD． （2）①设 AE 与 CD 于点 F，BE 与 DC 的延长线交于点 G，如图 3． ∵ ∠ CABB∠ EAD90，∴ ∠ CAD∠ BAE． AEAD 2，∴ △ ABE∽ △ ACD； ABAC ②∵ △ ABE∽ △ ACD，∴ ∠ AEB∠ CDA． ∵ CA3，AB5，AD6，AE10，∴ ∵ ∠ AFD∠ EFG，∠ AFD∠ CDA90，∴ ∠ EFG∠ AEB90，∴ ∠ DGE90，∴ DG⊥BE， ∴ ∠ AGD∠ BGD90，∴ CE2CG2EG2，BD2BG2DG2，∴ BD2CE2CG2EG2BG2DG2． ∵ CG2BG2CB2，EG2DG2ED2，∴ BD2CE2CB2ED2CA2AB2AD2AD2170． 【点睛】 本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题 的关键． 3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是①对折矩形纸片 ABCDABBC，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；②沿折痕 BG 折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的点 P 处，再折出 PB、PC，最后用笔画出△PBC图 1． （1）求证图 1 中的PBC 是正三角形 （2）如图 2，小明在矩形纸片 HIJK 上又画了一个正三角形IMN，其中 IJ6cm， 且 HMJN． ①求证IHIJ ②请求出 NJ 的长； （3）小明发现在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度 a 变化时，在矩形纸片 上总能画出最大的正三角形，