长沙历年备战中考数学易错题汇编-圆的综合练习题

一、圆的综合一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点 P 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，PC 为⊙O 的切线，点 C 为切点，连接 AC， 过点 A 作 PC 的垂线，点 D 为垂足，AD 交⊙O 于点 E． (1)如图 1，求证：∠ DAC=∠ PAC； (2)如图 2，点 F（与点 C 位于直径 AB 两侧）在⊙O 上，BF  FA，连接 EF，过点 F 作 AD 的平行线交 PC 于点 G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图 3，若 AE= 2 DG，PO=5，求 EF 的长． 3 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，求出 OC∥ AD，求出 OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DE=HG，FH=EH，即 可得出答案； （3）设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF，求出∠ FHO=∠ EHO=45°，根据矩形的性质得出 12 AE，设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a， 32 MO1CO1  ，tanP=,设 求出 ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出 tan∠ MBO＝ BM2PO2 EH∥ DG，求出 OM= OC=k，则 PC=2k，根据 OP=5k=5 求出 k=5，根据勾股定理求出 a，即可求出答案． 【详解】 （1）证明：连接 OC， ∵ PC 为⊙O 的切线， ∴ OC⊥PC， ∵ AD⊥PC， ∴ OC∥ AD， ∴ ∠ OCA=∠ DAC， ∵ OC=OA， ∴ ∠ PAC=∠ OCA， ∴ ∠ DAC=∠ PAC； （2）证明：连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH， ∵ FG∥ AD， ∴ ∠ FGD+∠ D=180°， ∵ ∠ D=90°， ∴ ∠ FGD=90°， ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ BEA=90°， ∴ ∠ BED=90°， ∴ ∠ D=∠ HGD=∠ BED=90°， ∴ 四边形 HGDE 是矩形， ∴ DE=GH，DG=HE，∠ GHE=90°， ∵ BF  AF， 11 o∠ BEA=90 =45°， 22 ∴ ∠ HFE=90°﹣∠ HEF=45°， ∴ ∠ HEF=∠ HFE， ∴ FH=EH， ∴ FG=FH+GH=DE+DG； ∴ ∠ HEF=∠ FEA= （3）解：设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF， ∵ EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴ △ FHO≌ △ EHO， ∴ ∠ FHO=∠ EHO=45°， ∵ 四边形 GHED 是矩形， ∴ EH∥ DG， ∴ ∠ OMH=∠ OCP=90°， ∴ ∠ HOM=90°﹣∠ OHM=90°﹣45°=45°， ∴ ∠ HOM=∠ OHM， ∴ HM=MO， ∵ OM⊥BE， ∴ BM=ME， ∴ OM= 1 AE， 2 2 DG，DG=3a， 3 设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE= ∵ ∠ HGC=∠ GCM=∠ GHE=90°， ∴ 四边形 GHMC 是矩形， ∴ GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a， ∵ DG=HE，GC=HM， ∴ ME=CD=2a，BM=2a， 在 Rt△ BOM 中，tan∠ MBO= ∵ EH∥ DP， ∴ ∠ P=∠ MBO， tanP= MOa1  ， BM2a2 CO1  ， PO2 设 OC=k，则 PC=2k， 在 Rt△ POC 中，OP=5k=5， 解得：k=5，OE=OC=5， 在 Rt△ OME 中，OM2+ME2=OE2，5a2=5， a=1， ∴ HE=3a=3， 在 Rt△ HFE 中，∠ HEF=45°， ∴ EF= 2HE=32． 【点睛】 考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键． 2．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠ BAC，交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝8，⊙O 的半径为 5，求 DE 的长． 【答案】（1）直线 DE 与⊙O 相切（2）4 【解析】 试题分析：（1）连接 OD，∵ AD 平分∠ BAC，∴EAD＝OAD，∵OA＝OD， ∴ODA＝OAD，∴ODA＝EAD，∴ EA∥ OD，∵ DE⊥EA，∴ DE⊥OD，又∵ 点 D 在⊙O 上，∴ 直线 DE 与⊙O 相切 （2） 如图 1，作 DF⊥AB，垂足为 F，∴DFA＝DEA＝90， ∵EAD＝FAD，AD＝AD，∴ △ EAD≌ △ FAD，∴AF＝AE＝8，DF＝DE， ∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在 Rt△ DOF 中，DF＝ OD2 OF2＝4，∴ AF＝AE＝8 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系 点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推 出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心 距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长． 3．如图，在锐角△ ABC 中，AC 是最短边．以 AC 为直径的⊙O，交 BC 于 D，过 O 作 OE∥ BC，交 OD 于 E，连接 AD、AE、CE． （1）求证：∠ ACE=∠ DCE； （2）若∠ B=45°，∠ BAE=15°，求∠ EAO 的度数； S CDF 2  ，求 CF 的长．（3）若 AC=4， S COE 3 【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3） 【解析】 【分析】 4 3 3 （1）易证∠ OEC=∠ OCE，∠ OEC=∠ ECD，从而可知∠ OCE=∠ ECD，即∠ ACE=∠ DCE； （2）延长 AE 交 BC 于点 G，易证∠ AGC=∠ B+∠ BAG=60°，由于 OE∥ BC，所以 ∠ AEO=∠ AGC=60°，所以∠ EAO=∠ AEO=60°； S （3）易证 S 【详解】 COE CAE  S1 ，由于 2S CDF COE  S2 ，所以 S3 CDF CAE = 1 ，由圆周角定理可知 3 ∠ AEC=∠ FDC=90°，从而可证明△ CDF∽ △ CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案． （1）∵ OC=OE，∴ ∠ OEC=∠ OCE． ∵ OE∥ BC，∴ ∠ OEC=∠ ECD，∴ ∠ OCE=∠ ECD，即∠ ACE=∠ DCE； （2）延长 AE 交 BC 于点 G． ∵ ∠ AGC 是△ ABG 的外角，∴ ∠ AGC=∠ B+∠ BAG=60°． ∵ OE∥ BC，∴ ∠ AEO=∠ AGC=60°． ∵ OA=OE，∴ ∠ EAO=∠ AEO=60°． S （3）∵ O 是 AC 中点，∴ S S S CDF COE COE CAE 1 ． 2  S2 ，∴ 3S CDF CAE = 1 ． 3 CF 334