长沙历年备战中考数学易错题汇编-圆的综合练习题

一、圆的综合一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点 P 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，PC 为⊙O 的切线，点 C 为切点，连接 AC， 过点 A 作 PC 的垂线，点 D 为垂足，AD 交⊙O 于点 E． 1如图 1，求证∠ DAC∠ PAC； 2如图 2，点 F（与点 C 位于直径 AB 两侧）在⊙O 上，BF  FA，连接 EF，过点 F 作 AD 的平行线交 PC 于点 G，求证FGDEDG； 3在2的条件下，如图 3，若 AE 2 DG，PO5，求 EF 的长． 3 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF32． 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，求出 OC∥ AD，求出 OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DEHG，FHEH，即 可得出答案； （3）设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF，求出∠ FHO∠ EHO45，根据矩形的性质得出 12 AE，设 OMa，则 HMa，AE2a，AEDG，DG3a， 32 MO1CO1  ，tanP,设 求出 MECD2a，BM2a，解直角三角形得出 tan∠ MBO＝ BM2PO2 EH∥ DG，求出 OM OCk，则 PC2k，根据 OP5k5 求出 k5，根据勾股定理求出 a，即可求出答案． 【详解】 （1）证明连接 OC， ∵ PC 为⊙O 的切线， ∴ OC⊥PC， ∵ AD⊥PC， ∴ OC∥ AD， ∴ ∠ OCA∠ DAC， ∵ OCOA， ∴ ∠ PAC∠ OCA， ∴ ∠ DAC∠ PAC； （2）证明连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH， ∵ FG∥ AD， ∴ ∠ FGD∠ D180， ∵ ∠ D90， ∴ ∠ FGD90， ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ BEA90， ∴ ∠ BED90， ∴ ∠ D∠ HGD∠ BED90， ∴ 四边形 HGDE 是矩形， ∴ DEGH，DGHE，∠ GHE90， ∵ BF  AF， 11 o∠ BEA90 45， 22 ∴ ∠ HFE90﹣∠ HEF45， ∴ ∠ HEF∠ HFE， ∴ FHEH， ∴ FGFHGHDEDG； ∴ ∠ HEF∠ FEA （3）解设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF， ∵ EHHF，OEOF，HOHO， ∴ △ FHO≌ △ EHO， ∴ ∠ FHO∠ EHO45， ∵ 四边形 GHED 是矩形， ∴ EH∥ DG， ∴ ∠ OMH∠ OCP90， ∴ ∠ HOM90﹣∠ OHM90﹣4545， ∴ ∠ HOM∠ OHM， ∴ HMMO， ∵ OM⊥BE， ∴ BMME， ∴ OM 1 AE， 2 2 DG，DG3a， 3 设 OMa，则 HMa，AE2a，AE ∵ ∠ HGC∠ GCM∠ GHE90， ∴ 四边形 GHMC 是矩形， ∴ GCHMa，DCDG﹣GC2a， ∵ DGHE，GCHM， ∴ MECD2a，BM2a， 在 Rt△ BOM 中，tan∠ MBO ∵ EH∥ DP， ∴ ∠ P∠ MBO， tanP MOa1  ， BM2a2 CO1  ， PO2 设 OCk，则 PC2k， 在 Rt△ POC 中，OP5k5， 解得k5，OEOC5， 在 Rt△ OME 中，OM2ME2OE2，5a25， a1， ∴ HE3a3， 在 Rt△ HFE 中，∠ HEF45， ∴ EF 2HE32． 【点睛】 考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键． 2．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠ BAC，交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝8，⊙O 的半径为 5，求 DE 的长． 【答案】（1）直线 DE 与⊙O 相切（2）4 【解析】 试题分析（1）连接 OD，∵ AD 平分∠ BAC，∴EAD＝OAD，∵OA＝OD， ∴ODA＝OAD，∴ODA＝EAD，∴ EA∥ OD，∵ DE⊥EA，∴ DE⊥OD，又∵ 点 D 在⊙O 上，∴ 直线 DE 与⊙O 相切 （2） 如图 1，作 DF⊥AB，垂足为 F，∴DFA＝DEA＝90， ∵EAD＝FAD，AD＝AD，∴ △ EAD≌ △ FAD，∴AF＝AE＝8，DF＝DE， ∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在 Rt△ DOF 中，DF＝ OD2 OF2＝4，∴ AF＝AE＝8 考点切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系 点评本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推 出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心 距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长． 3．如图，在锐角△ ABC 中，AC 是最短边．以 AC 为直径的⊙O，交 BC 于 D，过 O 作 OE∥ BC，交 OD 于 E，连接 AD、AE、CE． （1）求证∠ ACE∠ DCE； （2）若∠ B45，∠ BAE15，求∠ EAO 的度数； S CDF 2  ，求 CF 的长．（3）若 AC4， S COE 3 【答案】（1）证明见解析，（2）60；（3） 【解析】 【分析】 4 3 3 （1）易证∠ OEC∠ OCE，∠ OEC∠ ECD，从而可知∠ OCE∠ ECD，即∠ ACE∠ DCE； （2）延长 AE 交 BC 于点 G，易证∠ AGC∠ B∠ BAG60，由于 OE∥ BC，所以 ∠ AEO∠ AGC60，所以∠ EAO∠ AEO60； S （3）易证 S 【详解】 COE CAE  S1 ，由于 2S CDF COE  S2 ，所以 S3 CDF CAE 1 ，由圆周角定理可知 3 ∠ AEC∠ FDC90，从而可证明△ CDF∽ △ CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案． （1）∵ OCOE，∴ ∠ OEC∠ OCE． ∵ OE∥ BC，∴ ∠ OEC∠ ECD，∴ ∠ OCE∠ ECD，即∠ ACE∠ DCE； （2）延长 AE 交 BC 于点 G． ∵ ∠ AGC 是△ ABG 的外角，∴ ∠ AGC∠ B∠ BAG60． ∵ OE∥ BC，∴ ∠ AEO∠ AGC60． ∵ OAOE，∴ ∠ EAO∠ AEO60． S （3）∵ O 是 AC 中点，∴ S S S CDF COE COE CAE 1 ． 2  S2 ，∴ 3S CDF CAE 1 ． 3 CF 334