Bezout整区上矩阵的群逆的开题报告

精品文档---下载后可任意编辑 Bezout整区上矩阵的群逆的开题报告 引言： 在抽象代数中，矩阵群是一类非常重要的代数结构。对于每一个群元素，我们都可以定义它的逆元素。然而，对于矩阵群来说，它的逆元素并不总是存在。本文将讨论在Bezout整区上矩阵群的情况，并给出一个群逆元素的构造方法。 正文： 设$R$是一个Bezout整区，即一个交换环且任意两个元素的最大公因子都存在。考虑在$GL_n(R)$中的两个矩阵$A$和$B$，我们想要构造它们的逆元素$A^{-1}$和$B^{-1}$。假如$A$和$B$的最大公因子为$1$，那么它们在$GL_n(R)$中一定是可逆的，也就是说它们的逆元素存在。 现在我们假设$A$和$B$的最大公因子为$d$，显然我们有$A=PA d$和$B=QB d$，其中$A $和$B $的最大公因子为$1$，$P$和$Q$是可逆的$d$的左右因子。注意到$A $和$B $是可逆元素，那么我们可以得到： $AB=PQ A B dB =(PQA B )d(AB)^{-1}B $ 因为$R$是Bezout整区，所以$d$的左右因子是唯一的。因此，我们可以通过求解$PQA B $来构造$AB$的逆元素。其中，由于$R$是整区，我们可以利用求解线性方程组的方法求得$d$的左右因子和逆元素。 结论： 在Bezout整区上的矩阵群$GL_n(R)$中，我们可以通过以上方法构造矩阵$A$和$B$的逆元素。这样我们就证明了在这种情况下，矩阵群的逆元素是一定存在的。 参考文献： [1] T.S. Wu, J.S. Zhang，Integral Matrices，Singapore:Wolrd Scientific，1997. [2] Y. Zhu，On the Group Inverse of Bezout Domain Matrices，Linear Algebra and Its Applications，1999，Vol.292，No.1，pp.163-175.