自平衡机器人试验报告

线线性性系系统统理理论论 题题 目目 ：： 自自 平平 衡衡 机机 器器 人人 实实 验验 报报 告告 学生姓名：李佳鹏学生姓名：李佳鹏 王一帆王一帆 董昊董昊 学学号：号：S201602215S201602212 S201602216S201602215S201602212 S201602216 专专业：控制工程业：控制工程 指导老师：龚道雄指导老师：龚道雄 20162016 年年 1212 月月 1111 日日 自平衡机器人是一种特殊的轮式移动机器人， 它运动灵活，成本低，适合在狭小和危险 的空间工作，可以零半径转弯， 有着广泛的应用前景。同时， 自平衡机器人作为一个本征不 稳定典型控制系统，具有多变量、高阶次、非线性和参数不确定特点， 也是一种复杂的研究 性实验装置， 已成为理想的控制理论和控制技术研究的实验平台。 本实验是利用牛顿运动定 律对该系统进行数学建模， 并对其线性化处理， 得到相应的状态方程。 画系统的开闭环曲线， 并分析零极点， 在此基础之上详细介绍了李雅普诺夫的方法分析开闭环的稳定性， 线性二次 型设计控制方法等。 自平衡机器人又称为轮式倒立摆机器人， 其特征在于其重心处于轮轴上方， 形成一个倒 立摆的构型， 是一种典型的非线性、 欠驱动、 静态不稳定系统。 标准的自平衡机器人由左轮、 右轮、位于中部的车体三部分组成，其重心相对车体固定，并且一般运行在平坦水平面上。 早期对这类机器人的研究集中在动力学建模、 平衡控制算法、 传感器方案、 系统构建等方面， 着重研究如何将自平衡机器人从概念变为实际的动态平衡机器人系统。 随着研究的深入， 研 究者们开发了各式各样的改进型自平衡机器人。通过在标准的自平衡机器人上增加执行机 构，世界各国学者研究了利用自平衡机器人对物体进行操作、 搬运。另外，随着自平衡机器 人运用到交通通勤、娱乐、监控等多领域，研究者们逐渐深入研究了不同外部环境对机器人 控制的挑战，如上下坡、 台阶、头顶障碍、低附着力地面等条件下自平衡机器人的平衡和行 走控制问题。由于标准的自平衡机器人结构相对简单， 重心相对车体的位置固定， 因而其控 制也比较容易实现。然而，随着机器人负载的改变、机械手等执行器的增加、以及机器人结 构的改变， 自平衡机器人重心也不再固定。 重心位置和所处工作环境的变化给机器人的控制、 机械和传感系统等方面带来了新的挑战，形成了新的研究热点。 本文的设计仿真实验采用了经典的理论对 “JOE: A Mobile, Inverted Pendulum” 这篇文章 仿真进行具体的控制， 流程是是机械模型的建立-数学模型的建立-模型的线性化-机器人的运 动学分析-控制器的设计—李雅普诺夫进行开环、闭环稳定性-二次型分析。几种常见的机器 人模型如下图所示： 图 1.1 Naojishiroma 的搬运机器人图 1.2 日本早稻田大学的机器人模型WV-2R 图 1.3 Yamafuji 的直立机器人 图 1.4 机器人 JOE 一、实验目的一、实验目的 1、了解自平衡机器人的概念与原理； 2、熟悉将物理模型转化为数学模型的方法，并建模； 3、掌握微分方程与传递函数模型以及状态空间模型的转化与建立； 4、掌握李雅普诺夫第二方法分析系统稳定； 5、熟悉 LQR 设计控制系统。 二、实验环境二、实验环境 实验软件：Matlab2012B 实验人员：李佳鹏 王一帆 董昊 三、实验内容三、实验内容 （一）、分析自平衡小车原理与数学分析建模（一）、分析自平衡小车原理与数学分析建模 1、数学分析模型 自平衡小车的系统模型如图1 所示，下方为双轮小车，小车中间有一个2l 长的摆杆。 图 1 数学分析模型 2、系统的设计要求： （1）摆杆处于平衡状态，给定0.05rad 的脉冲干扰，系统在 5s 内稳定在直立平衡状态，θ 的初始角度为θ ＝π 。则需要 ① 设置θ 作用时间小于等于 5s ② θ 来自垂直方向角度限制条件为始终不超过0.05rad （2）在小车处于平衡站立状态，给定一个 0.2m/s 的期望速度，系统在 5s 之内达到期望速 度，上升时间不超过 0.5s，同时摆杆的摆角也不超过20 度的误差。转化为： ① 设置 x 与θ 作用时间小于等于 5s ② x 的上升时间小于等于0.5s ③ 摆杆角度与垂直方向不超过20°（0.35rad） ④ x 与θ 稳态误差不超过2% 3、两轮自平衡小车的物理量及状态空间方程分析： 根据牛顿定律，小车在水平方向上的力有下列等式： Mx bx   N  F （1） 摆杆在水平方向遵从的表达式如下式： cosml2sin （2） N  mxml 将（2）带入（1），化简可得 cosml2sin F （3） (M m)xbxml 为获得系统运动的二次方程，将作用在摆杆的力分析求和，得 mx Psin N cosmgsin ml cos （4） 对于摆杆上的质心满足  （5） Pl sin Nl cos I 联立上述（4）与（5）两个方程式，得 mglsin mlx (I ml2) cos （6） 观察得到，系统是非线性化的，将系统按以下步骤实现线性化： cos cos()  1 （7） sin sin()   （8） 2 2 0 （9）  将上述三个等式带入（3）和（6），得线性化方程组 mgl mlx (I  ml2)  （10）  u (M m)xbxml 也可换算出系统的传递函数， （11） (I ml2)(s)s2mgl(s)  mlX(s)s2 （12） (M m)X(s)s2bX(s)sml(s)s2U(s) （13） ml 2s (s)q  U(s)b(I ml2) 3 (M m)mgl 2 bmgl（14） 4s s s s qqq 式中q  (M m)(I ml2)(ml)2 将⑩与合并化简得到系统状态方程： 0   x   x0     0      0   1 (I ml2)b I(M m) Mml2 0 mlb I(M m) Mml2 0 m2gl2 I(M m) Mml2 0 mgl(M m) I(M m) Mml2 0 0  x  2 I ml  0   2 xI(M m) Mml   u 1  0  （15）      ml   0  2  I(M m) Mml  x   0   1 00 0  x y     u 0 010 0 （16）    （二）、系统的（二）、系统的 MatlabMatlab 仿真仿真 根据⑫与⑬在 MATLAB中进行运算。代码如下： M = 0.076; Mp =0.6; J