裂项法一含答案-
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更 捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 裂项法（一）裂项法（一） 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分 母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如 111 ，这里分母 3、4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积， 3412 把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11n 1n nn 1n(n 1)n(n 1) n 1 n1 n(n 1)n(n 1) 即 111 nn 1n(n 1) 111 n(n 1)nn 1 或 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算： 1111 …… 1985198619861987198719881994 1995 111 19951996199619971997 分析与解答：分析与解答： 111 1985198619851986 111 1986198719861987 111 1987198819871988 …… 111 1994199519941995 111 1995199619951996 111 1996199719961997 上面 12 个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这 一来问题解起来就十分方便了。 11111 … 19851986198619871987 19881995199619961997 1 1997 111111111 …… 198519861986198719871988199519961996 111 199719971985 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算： 公式的变式 1111 … 11 21 2 31 2 3 … 100 12 1 2 … nn (n 1) 当n分别取 1，2，3，……，100 时，就有 12 11 2 12 1 22 3 12 1 2 33 4 12 1 2 3 44 5 12 1 2 … 100100101 1 1 1 … 1 11 21 2 31 2 … 100 22222 … 1 22 33 499 100100101 11111 … ) 2 (1 2 2 33499 100100101 111111111 2 (1 … ) 2233499100100101 1 2 (1) 101 100 101 200 101 99 1101 2 例 3. 设符号（）、代表不同的自然数，问算式 符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：减法是加法的逆运算， 111 中这两个 6() 111111 就变成 ，与 6()6() 前面提到的等式 111111 相联系，便可找到一组解，即 nn 1n(n 1)6742 另外一种方法 设n、x、y都是自然数，且x y，当 111 时，利用上面的变加为减的想法， nxy 得算式 x n1 。 nxy 这里 1 是个单位分数，所以x n一定大于零，假定x n t 0，则x n t，代 y n2t1 n。 ，即y 入上式得 tn(n t)y 又因为y是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y， 这一来我们便得到一个比 111 更广泛的等式，即当x n t， nn 1n(n 1) n2111 y n，t是n2的约数时，一定有 ，即 tnxy 11t nn tn(n t) n2111 n，t是n2的约数时，一定有 ，这里上面指出当x n t，y tnxy n 6 ,n2 36，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当t 1时，x 7，y 42 当t 2时，x 8，y 24 当t 3时，x 9，y 18 当t 4时，x 10，y 15 当t 6时，x 12，y 10 当t 9时，x 15，y 10 当t 12时，x 18，y 9 当t 18时，x 24，y 8 当t 36时，x 42，y 7 故（）和所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：20 分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 11111 … 1 22 33 498 9999 100 11111111111111 2. 计算： 3610152128364555667891105120 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当 111 时，求x y。 18xy 【试题答案】【试题答案】 1. 计算： 11111 … 1 22 33 498 9999 100 1 111111111 … 22334989999100 1 1 100 99 100 2. 计算： 11111111111111 3610152128364555667891105120 22222222222222 612203042567290110132156182210240 111111111 2 ( 2 33 44 55 66 77 88 99 101011 11111 ) 111212 13131414 151516 11 2 () 216 1 1 8 7 8 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当 111 时，求x y。 18xy x y的值为： 的值为：7575，，8181，，9696，，121121，，147147，，200200，，361361。。 因为因为 1818 的约数有的约数有 1 1，，2 2，，3 3，，6 6，，9 9，，1818，共，共 6 6 个，所以有个，所以有 11111 1818 (11)36
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