裂项法一含答案-

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更 捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 裂项法（一）裂项法（一） 同学们知道在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分 母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如 111 ，这里分母 3、4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，  3412 把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式 11n 1n  nn 1nn 1nn 1 n 1 n1  nn 1nn 1 即 111  nn 1nn 1 111  nn 1nn 1 或 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算 1111   1985198619861987198719881994 1995 111  19951996199619971997 分析与解答分析与解答 111  1985198619851986 111  1986198719861987 111  1987198819871988 111  1994199519941995 111  1995199619951996 111  1996199719961997 上面 12 个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这 一来问题解起来就十分方便了。 11111   19851986198619871987 19881995199619961997 1  1997 111111111   198519861986198719871988199519961996 111  199719971985  像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例 2. 计算  公式的变式 1111   11 21 2  31 2  3 100 12  1 2   nn  n 1 当n分别取 1，2，3，，100 时，就有 12  11 2 12  1 22  3 12  1 2  33 4 12  1 2  3 44 5 12  1 2  100100101 1  1  1   1 11 21 2  31 2  100 22222   1 22  33 499 100100101 11111   2  1 2 2  33499 100100101 111111111  2  1  2233499100100101 1  2  1 101 100 101 200  101 99  1101  2 例 3. 设符号（）、代表不同的自然数，问算式 符号所代表的数的数的积是多少 分析与解减法是加法的逆运算， 111  中这两个 6 111111  就变成  ，与 66 前面提到的等式 111111  相联系，便可找到一组解，即 nn 1nn 16742 另外一种方法 设n、x、y都是自然数，且x  y，当 111  时，利用上面的变加为减的想法， nxy 得算式 x  n1  。 nxy 这里 1 是个单位分数，所以x  n一定大于零，假定x n  t  0，则x  n  t，代 y n2t1  n。 ，即y 入上式得 tnn  ty 又因为y是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y， 这一来我们便得到一个比 111  更广泛的等式，即当x  n  t， nn 1nn 1 n2111 y  n，t是n2的约数时，一定有 ，即 tnxy 11t  nn  tnn  t n2111  n，t是n2的约数时，一定有 ，这里上面指出当x  n  t，y  tnxy n  6 ,n2 36，36 共有 1，2，3，4，6，9，12，18，36 九个约数。 当t 1时，x  7，y  42 当t  2时，x  8，y  24 当t  3时，x  9，y 18 当t  4时，x 10，y 15 当t  6时，x 12，y 10 当t  9时，x 15，y 10 当t 12时，x 18，y  9 当t 18时，x  24，y  8 当t  36时，x  42，y  7 故（）和所代表的两数和分别为 49，32，27，25。 【模拟试题】【模拟试题】（答题时间20 分钟） 二.尝试体验 1. 计算 11111   1 22  33 498 9999 100 11111111111111  2. 计算  3610152128364555667891105120 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当 111  时，求x  y。 18xy 【试题答案】【试题答案】 1. 计算 11111   1 22  33 498 9999 100  1 111111111   22334989999100 1  1 100 99  100 2. 计算 11111111111111  3610152128364555667891105120 22222222222222  612203042567290110132156182210240 111111111  2   2  33 44 55 66 77 88 99 101011 11111  111212 13131414 151516 11  2   216 1  1 8 7  8  3. 已知x、y是互不相等的自然数，当 111  时，求x  y。 18xy x  y的值为 的值为7575，，8181，，9696，，121121，，147147，，200200，，361361。。 因为因为 1818 的约数有的约数有 1 1，，2 2，，3 3，，6 6，，9 9，，1818，共，共 6 6 个，所以有个，所以有 11111  1818 1136