裂项相消法求和附答案

精品字里行间 裂项相消法裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能 前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前 后等式两边保持相等。后等式两边保持相等。 （（1 1）若是）若是{a{an n} }等差数列，则等差数列，则 11111111 .(), ,.() a nan1 da n a n1 a nan2 2da n a n2 （（2 2）） 111  n（n1 ） nn1 11 11 () n(nk)k nnk （（3 3）） （（4 4）） 1111 () （2n1 （ ) 2n1 ） 2 2n12n1 1111 [] n(n1)(n2)2 n(n1)(n1)(n2) 1 n n1 （（5 5）） （（6 6））n1n  1 ( nk n) k （（7 7）） 1. 1.已知数列已知数列 1 n nk 的前的前 n n 项和为项和为，，．． （（1 1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； （（2 2）设）设，求数列，求数列的前的前 n n 项和为项和为．． [ [解析解析] (1)] (1)……………①……………① 时时, ,……………②……………② ①①②②得得: : 放心做自己想做的 精品字里行间 即即……………………………………3……………………………………3分分 在在①①中令中令, , 有有, , 即即，，……………………………………5……………………………………5分分 故对故对 2. 2.已知已知{a{an n} }是公差为是公差为 d d 的等差数列，它的前的等差数列，它的前 n n 项和为项和为 S Sn n，，S S4 4=2S=2S2 2+8+8．． （（Ⅰ Ⅰ）求公差）求公差 d d 的值；的值； （（Ⅰ Ⅰ）） 若若 a a1 1=1=1，， 设设 T Tn n是数列是数列{ { 恒成立的最大正整数恒成立的最大正整数 mm 的值；的值； } }的前的前 n n 项和，项和， 求使不等式求使不等式 T Tn n≥ ≥对所有的对所有的 nⅠN*nⅠN* [ [解析解析] ]（（Ⅰ Ⅰ）设数列）设数列{a{an n} }的公差为的公差为 d d，， Ⅰ SⅠ S4 4=2S=2S2 2+8+8，即，即 4a4a1 1+6d=2(2a+6d=2(2a1 1+d) +8+d) +8，化简得：，化简得：4d=84d=8，， 解得解得 d=2d=2．．……………………………………………………………………4……………………………………………………………………4分分 （（Ⅰ Ⅰ）由）由 a a1 1=1=1，，d=2d=2，得，得 a an n=2n=2n- -1 1，，…………………………………………5…………………………………………5分分 Ⅰ Ⅰ= =．．…………………………………………6…………………………………………6分分 Ⅰ TⅠ Tn n= = = = = =≥ ≥，，…………………………………………8…………………………………………8分分 又又Ⅰ Ⅰ 不等式不等式 T Tn n≥ ≥ 放心做自己想做的 对所有的对所有的 nⅠN*nⅠN*恒成立，恒成立， 精品字里行间 Ⅰ Ⅰ≥ ≥，，…………………………………………10…………………………………………10分分 化简得：化简得：mm2 2- -5m5m- -6≤06≤0，解得：，解得：- -1≤m≤61≤m≤6．． Ⅰ mⅠ m 的最大正整数值为的最大正整数值为 6 6．．……………………………………………………12……………………………………………………12分分 3.)3.)已知各项均不相同的等差数列已知各项均不相同的等差数列{a{an n} }的前四项和的前四项和 S S4 4=14,=14,且且 a a1 1,a ,a3 3,a ,a7 7成等比数列成等比数列. . (Ⅰ)(Ⅰ)求数列求数列{a{an n} }的通项公式的通项公式; ; (Ⅰ)(Ⅰ)设设 T Tn n为数列为数列的前的前 n n 项和项和, ,求求 T T2 012 2 012 的值的值. . [ [答案答案] (Ⅰ)] (Ⅰ)设公差为设公差为 d, d,由已知得由已知得 解得解得 d=1d=1 或或 d=0(d=0(舍去舍去),Ⅰa),Ⅰa1 1=2. (5=2. (5 分分) ) 故故 a an n=n+1. (6=n+1. (6 分分) ) (3(3 分分) ) (Ⅰ)(Ⅰ)= == =- -,(8,(8 分分) ) ⅠTⅠTn n= = - - + + - - +…++…+- -= = - -= =. (10. (10 分分) ) ⅠTⅠT2 012 2 012= = . (12. (12 分分) ) 4.)4.)已知数列已知数列{a{an n} }是等差数列是等差数列, , T Tn n. . (1)(1)求数列求数列{a{an n} }的通项公式的通项公式; ; - -=8n+4,=8n+4,设数列设数列{|a{|an n|}|}的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,数列数列的前的前n n项和为项和为 (2)(2)求证求证: : ≤T≤Tn n0, 故故 q=q= . . 由由 2a2a1 1+3a+3a2 2=1=1 得得 2a2a1 1+3a+3a1 1q=1,q=1, 所以所以 a a1 1= = . . 故数列故数列{a{an n} }的通项公式为的通项公式为 a an n= =. . (Ⅰ) b(Ⅰ) bn n=log=log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+…+log+…+log3 3a an n = =- -(1+2+…+n)(1+2+…+n) = =- -, , 故故= =- -= =- -2 2, , 放心做自己想做的 精品字里行间 + ++…++…+= =- -2 2+ ++…++…+= =- -. . 所以数列所以数列的前的前 n n 项和为项和为- -. . 13.13.等差数列等差数列{a{an n} }的各项均为正数的各项均为正数,a ,a1 1=3,=3,其前其前 n n 项和为项和为 S Sn n,{b,{bn n} }为等比数列为等比数列,b ,b1 1=1,=1,且且 b b2 2S S2 2=16,b=16,b3 3S S3 3=60.=60. (Ⅰ)(Ⅰ)求求 a an n和和 b bn n; ; (Ⅰ)(Ⅰ)求求+ ++…++…+. . [ [答案答案] (Ⅰ)] (Ⅰ)设设{a{an n} }的公差为的公差为 d, d,且且 d d 为正数为正数,{b,{bn n} }的公比为的公比为 q, q, a an n=3+(n=3+(n- -1)d,b1)d,bn n=q=qn n- -1 1, , 依题意有依题意有 b b2 2S S2 2=q·(6+d)=16