裂项相消法求和附答案

精品字里行间 裂项相消法裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能 前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前 后等式两边保持相等。后等式两边保持相等。 （（1 1）若是）若是{a{an n} }等差数列，则等差数列，则 11111111 ., ,. a nan1 da n a n1 a nan2 2da n a n2 （（2 2）） 111  n（n1 ） nn1 11 11  nnkk nnk （（3 3）） （（4 4）） 1111  （2n1 （ 2n1 ） 2 2n12n1 1111 [] nn1n22 nn1n1n2 1 n n1 （（5 5）） （（6 6））n1n  1 nk n k （（7 7）） 1. 1.已知数列已知数列 1 n nk 的前的前 n n 项和为项和为，，．． （（1 1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； （（2 2）设）设，求数列，求数列的前的前 n n 项和为项和为．． [ [解析解析] 1] 1①① 时时, ,②② ①①②②得得 放心做自己想做的 精品字里行间 即即33分分 在在①①中令中令, , 有有, , 即即，，55分分 故对故对 2. 2.已知已知{a{an n} }是公差为是公差为 d d 的等差数列，它的前的等差数列，它的前 n n 项和为项和为 S Sn n，，S S4 42S2S2 288．． （（Ⅰ Ⅰ）求公差）求公差 d d 的值；的值； （（Ⅰ Ⅰ）） 若若 a a1 111，， 设设 T Tn n是数列是数列{ { 恒成立的最大正整数恒成立的最大正整数 mm 的值；的值； } }的前的前 n n 项和，项和， 求使不等式求使不等式 T Tn n≥ ≥对所有的对所有的 nⅠN*nⅠN* [ [解析解析] ]（（Ⅰ Ⅰ）设数列）设数列{a{an n} }的公差为的公差为 d d，， Ⅰ SⅠ S4 42S2S2 288，即，即 4a4a1 16d22a6d22a1 1d 8d 8，化简得，化简得4d84d8，， 解得解得 d2d2．．44分分 （（Ⅰ Ⅰ）由）由 a a1 111，，d2d2，得，得 a an n2n2n- -1 1，，55分分 Ⅰ Ⅰ ．．66分分 Ⅰ TⅠ Tn n ≥ ≥，，88分分 又又Ⅰ Ⅰ 不等式不等式 T Tn n≥ ≥ 放心做自己想做的 对所有的对所有的 nⅠN*nⅠN*恒成立，恒成立， 精品字里行间 Ⅰ Ⅰ≥ ≥，，1010分分 化简得化简得mm2 2- -5m5m- -6≤06≤0，解得，解得- -1≤m≤61≤m≤6．． Ⅰ mⅠ m 的最大正整数值为的最大正整数值为 6 6．．1212分分 3.3.已知各项均不相同的等差数列已知各项均不相同的等差数列{a{an n} }的前四项和的前四项和 S S4 414,14,且且 a a1 1,a ,a3 3,a ,a7 7成等比数列成等比数列. . ⅠⅠ求数列求数列{a{an n} }的通项公式的通项公式; ; ⅠⅠ设设 T Tn n为数列为数列的前的前 n n 项和项和, ,求求 T T2 012 2 012 的值的值. . [ [答案答案] Ⅰ] Ⅰ设公差为设公差为 d, d,由已知得由已知得 解得解得 d1d1 或或 d0d0舍去舍去,Ⅰa,Ⅰa1 12. 52. 5 分分 故故 a an nn1. 6n1. 6 分分 33 分分 ⅠⅠ - -,8,8 分分 ⅠTⅠTn n - - - - - - - - . 10. 10 分分 ⅠTⅠT2 012 2 012 . 12. 12 分分 4.4.已知数列已知数列{a{an n} }是等差数列是等差数列, , T Tn n. . 11求数列求数列{a{an n} }的通项公式的通项公式; ; - -8n4,8n4,设数列设数列{|a{|an n|}|}的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,数列数列的前的前n n项和为项和为 22求证求证 ≤T≤Tn n0, 故故 qq . . 由由 2a2a1 13a3a2 211 得得 2a2a1 13a3a1 1q1,q1, 所以所以 a a1 1 . . 故数列故数列{a{an n} }的通项公式为的通项公式为 a an n . . Ⅰ bⅠ bn nloglog3 3a a1 1loglog3 3a a2 2loglog3 3a an n - -12n12n - -, , 故故 - - - -2 2, , 放心做自己想做的 精品字里行间 - -2 2 - -. . 所以数列所以数列的前的前 n n 项和为项和为- -. . 13.13.等差数列等差数列{a{an n} }的各项均为正数的各项均为正数,a ,a1 13,3,其前其前 n n 项和为项和为 S Sn n,{b,{bn n} }为等比数列为等比数列,b ,b1 11,1,且且 b b2 2S S2 216,b16,b3 3S S3 360.60. ⅠⅠ求求 a an n和和 b bn n; ; ⅠⅠ求求 . . [ [答案答案] Ⅰ] Ⅰ设设{a{an n} }的公差为的公差为 d, d,且且 d d 为正数为正数,{b,{bn n} }的公比为的公比为 q, q, a an n3n3n- -1d,b1d,bn nqqn n- -1 1, , 依题意有依题意有 b b2 2S S2 2q6d16